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2025年北京九中高考數(shù)學(xué)保溫試卷

發(fā)布：2025/6/27 12:27:35

一、單選題

1．在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₄+a₈=16，則該數(shù)列前11項和S_n=（　　）
A．58 B．88 C．143 D．176
組卷：16引用：1難度：0.7
解析
2．（1+3x）（1-x）⁵的展開式中x³的系數(shù)為（　?。?/h2>
A．0 B．20 C．10 D．30
組卷：464引用：4難度：0.8
解析
3．如圖①，用一個平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進(jìn)行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個球分別與截面相切于E、F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C、B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B、C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E、F為焦點的橢圓．

如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓，已知A₁A₂是橢圓的長軸，PA₁垂直于桌面且與球相切，PA₁=5，則橢圓的焦距為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
組卷：168引用：2難度：0.6
解析
4．若點P（-3，1）為圓x²+y²=16的弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為（　?。?/h2>
A．x+3y-10=0 B．3x+y+8=0 C．x-3y+10=0 D．3x-y+10=0
組卷：1039引用：3難度：0.9
解析
5．已知集合A={-3，1，2}，B={0，1，2，3}，則A∪B=（　?。?/h2>
A．{1，2} B．{-3，0，1，2} C．{-3，1，2，3} D．{-3，0，1，2，3}
組卷：3引用：3難度：0.7
解析
6．已知α，β是三次函數(shù)
f
（
x
）
=
1
3
x
3
+
1
2
a
x
2
+
2
bx
的兩個極值點，且α∈（0，1），β∈（1，2），則
b
-
2
a
-
1
的取值范圍是（　?。?/h2>
A．
（
1
4
，
1
）
B．
（
1
2
，
1
）
C．
（
-
1
2
，
1
4
）
D．
（
-
1
2
，
1
2
）
組卷：1458引用：26難度：0.7
解析
7．拋物線y²=-68x的準(zhǔn)線方程為（　?。?/h2>
A．x=-17 B．x=34 C．x=17 D．x=-34
組卷：171引用：7難度：0.8
解析
8．如圖是由三個小正方體疊成的一個立體圖形，那么它的俯視圖是（　?。?/h2>
A． B． C． D．
組卷：18引用：1難度：0.9
解析
9．已知復(fù)數(shù)
z
=
2
-
3
i
i
，則復(fù)數(shù)z的虛部是（　?。?/h2>
A．-2 B．-2i C．2 D．3
組卷：52引用：2難度：0.8
解析
10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=4，E是PA的中點，則PC到平面BED的距離為（　?。?/h2>
A．
2
B．
3
C．
2
2
D．
2
3
組卷：58引用：4難度：0.5
解析

二、填空題

11．已知二元函數(shù)
f
（
x
,
y
）
=
x
2
+
y
2
+
x
2
+
（
y
-
a
）
2
+
（
x
+
a
）
2
+
y
2
（
a
＞
0
）
的最小值為
2
+
6
，則正實數(shù)a的值為
．
組卷：70引用：1難度：0.3
解析
12．雙曲線
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
的右焦點為F，雙曲線C的一條漸近線與以O(shè)F為直徑的圓交于點M（異于點O），與過F且垂直于x軸的直線交于N，若S_△OMF=4S_△MNF，則雙曲線C的離心率為
．
組卷：54引用：3難度：0.6
解析
13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積等于
3
12
（
a
2
+
b
2
-
c
2
）
，且c=1，則
a
+
b
sin
A
+
sin
B
=
．
組卷：30引用：2難度：0.5
解析
14．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的方程為y=k|x|+2，曲線C₂的方程為（x+1）²+y²=4，若C₁與C₂有且僅有三個公共點，則實數(shù)k的值為
．
組卷：151引用：3難度：0.5
解析
15．已知平面向量
a
，
b
的夾角為60°，
a
=（
3
，1），|
b
|=1，則|
a
+2
b
|=
．
組卷：143引用：10難度：0.7
解析

三、解答題

16．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
經(jīng)過點A（0，1），且離心率為
6
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上的兩個動點M，N（M，N與點A不重合）直線AM，AN的斜率之和為4，作AH⊥MN于H．
問：是否存在定點P，使得|PH|為定值．若存在，求出定點P的坐標(biāo)及|PH|的值；若不存在，請說明理由．
組卷：257引用：6難度：0.5
解析
17．若數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n滿足：對任意1≤i＜j≤n,均有a_i+i≤a_j+j成立，則稱數(shù)列A為“D-數(shù)列”．
（Ⅰ）直接判斷下面三個數(shù)列是否是“D-數(shù)列”；
①A：1，2，3，4； ②A：1，3，2，4； ③A：4，3，2，1；
（Ⅱ）若“D數(shù)列”A：a₁，a₂，…，a₂₀₁₈滿足a₁=2018，證明：數(shù)列A是等差數(shù)列的充分不必要條件是a₂₀₁₈=1；
（Ⅲ）求q的取值范圍，使得存在非零實數(shù)a,對任意正整數(shù)n,數(shù)列A：a,aq,aq²，…，aq^n-1恒為“D-數(shù)列”．
組卷：96引用：2難度：0.9
解析

18．目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（用頻率作為概率）．潛伏期不高于平均數(shù)的患者，稱為“短潛伏著”，潛伏期高于平均數(shù)的患者，稱為“長潛伏者”．
（Ⅰ）求這500名患者潛伏期的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù)；
（Ⅱ）為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為潛伏期長短與患者年齡有關(guān)：

短潛伏者長潛伏者合計

60歲及以上 160

60歲以下 60

合計 300

（Ⅲ）研究發(fā)現(xiàn)，有5種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效（對某種藥物，僅需實驗一次即可知道其是否特別有效，現(xiàn)在要通過逐一試驗直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費的費用是600元，設(shè)所需要的試驗費用為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．
附表及公式：

P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

K²=
n
（
ad
-
bc
）
2
（
a
+
b
）
（
c
+
d
）
（
a
+
c
）
（
b
+
d
）
，n=a+b+c+d.

組卷：39引用：1難度：0.4

解析

19．已知
f
（
x
）
=
lnx
-
（
a
+
1
）
x
+
1
2
a
x
2
（
a
∈
R
）
，
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a∈（0，1]時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=0時，方程f（x）=（m-2）x在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．
組卷：93引用：2難度：0.5
解析
20．已知函數(shù)
f
（
x
）
=
-
x
3
+
x
2
，
x
＜
1
alnx
,

x
≥
1
.

（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（Ⅱ）對任意給定的正實數(shù)a,曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？
組卷：21引用：5難度：0.3
解析
21．已知向量
a
=（
3
，sin²x），
b
=（sinxcosx,1），函數(shù)f（x）=
a
?
b
-
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈[
π
6
，
5
π
12
]，求函數(shù)f（x）的值域．
組卷：24引用：3難度：0.7
解析

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	短潛伏者	長潛伏者	合計
60歲及以上			160
60歲以下	60
合計			300

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

2025年北京九中高考數(shù)學(xué)保溫試卷

一、單選題

1．在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項和Sn=（ ）

2．（1+3x）（1-x）5的展開式中x3的系數(shù)為（ ?。?/h2>

4．若點P（-3，1）為圓x2+y2=16的弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為（ ?。?/h2>

5．已知集合A={-3，1，2}，B={0，1，2，3}，則A∪B=（ ?。?/h2>

6．已知α，β是三次函數(shù)f（x）=13x3+12ax2+2bx的兩個極值點，且α∈（0，1），β∈（1，2），則b-2a-1的取值范圍是（ ?。?/h2>

7．拋物線y2=-68x的準(zhǔn)線方程為（ ?。?/h2>

8．如圖是由三個小正方體疊成的一個立體圖形，那么它的俯視圖是（ ?。?/h2>

9．已知復(fù)數(shù)z=2-3ii，則復(fù)數(shù)z的虛部是（ ?。?/h2>

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=4，E是PA的中點，則PC到平面BED的距離為（ ?。?/h2>

二、填空題

11．已知二元函數(shù)f（x,y）=x2+y2+x2+（y-a）2+（x+a）2+y2（a＞0）的最小值為2+6，則正實數(shù)a的值為 ．

12．雙曲線C：x2a2-y2b2=1的右焦點為F，雙曲線C的一條漸近線與以O(shè)F為直徑的圓交于點M（異于點O），與過F且垂直于x軸的直線交于N，若S△OMF=4S△MNF，則雙曲線C的離心率為 ．

13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積等于312（a2+b2-c2），且c=1，則a+bsinA+sinB=．

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y=k|x|+2，曲線C2的方程為（x+1）2+y2=4，若C1與C2有且僅有三個公共點，則實數(shù)k的值為．

15．已知平面向量a，b的夾角為60°，a=（3，1），|b|=1，則|a+2b|=．

三、解答題

21．已知向量a=（3，sin2x），b=（sinxcosx,1），函數(shù)f（x）=a?b-12．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若x∈[π6，5π12]，求函數(shù)f（x）的值域．

1．在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₄+a₈=16，則該數(shù)列前11項和S_n=（　　）

2．（1+3x）（1-x）⁵的展開式中x³的系數(shù)為（　?。?/h2>

4．若點P（-3，1）為圓x²+y²=16的弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為（　?。?/h2>

5．已知集合A={-3，1，2}，B={0，1，2，3}，則A∪B=（　?。?/h2>

6．已知α，β是三次函數(shù)
f
（
x
）
=
1
3
x
3
+
1
2
a
x
2
+
2
bx
的兩個極值點，且α∈（0，1），β∈（1，2），則
b
-
2
a
-
1
的取值范圍是（　?。?/h2>

7．拋物線y²=-68x的準(zhǔn)線方程為（　?。?/h2>

8．如圖是由三個小正方體疊成的一個立體圖形，那么它的俯視圖是（　?。?/h2>

9．已知復(fù)數(shù)
z
=
2
-
3
i
i
，則復(fù)數(shù)z的虛部是（　?。?/h2>

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=4，E是PA的中點，則PC到平面BED的距離為（　?。?/h2>

二、填空題

11．已知二元函數(shù)
f
（
x
,
y
）
=
x
2
+
y
2
+
x
2
+
（
y
-
a
）
2
+
（
x
+
a
）
2
+
y
2
（
a
＞
0
）
的最小值為
2
+
6
，則正實數(shù)a的值為
．

12．雙曲線
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
的右焦點為F，雙曲線C的一條漸近線與以O(shè)F為直徑的圓交于點M（異于點O），與過F且垂直于x軸的直線交于N，若S_△OMF=4S_△MNF，則雙曲線C的離心率為
．

13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積等于
3
12
（
a
2
+
b
2
-
c
2
）
，且c=1，則
a
+
b
sin
A
+
sin
B
=
．

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的方程為y=k|x|+2，曲線C₂的方程為（x+1）²+y²=4，若C₁與C₂有且僅有三個公共點，則實數(shù)k的值為
．

15．已知平面向量
a
，
b
的夾角為60°，
a
=（
3
，1），|
b
|=1，則|
a
+2
b
|=
．

三、解答題

21．已知向量
a
=（
3
，sin²x），
b
=（sinxcosx,1），函數(shù)f（x）=
a
?
b
-
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈[
π
6
，
5
π
12
]，求函數(shù)f（x）的值域．