已知橢圓Γ：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

（

a

＞

b

＞

0

）

的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，A，B是Γ上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AF₂垂直于x軸時(shí)，△ABF₂的周長(zhǎng)為

4

+

13

．
（1）求Γ的方程；
（2）已知Γ的離心率

e

＜

2

2

，直線AF₂與Γ交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A），直線BF₂與Γ交于點(diǎn)N（異于點(diǎn)B），證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征．

【答案】（1）=1，或+y²=1；
（2）證明：由（1）得橢圓Γ的方程為=1，
①當(dāng)A、B是橢圓Γ的左右頂點(diǎn)時(shí)，則直線MN與x軸重合；
②當(dāng)A、B是橢圓Γ的上下頂點(diǎn)時(shí)，則A（0，），B（0，-），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴直線AF₂的方程為y=-x+，聯(lián)立直線AF₂與橢圓Γ的方程得，整理得5x²-8x=0，解得x=0或x=，
∴當(dāng)x=時(shí)，y=-，即M（，-），
同理可得直線BF₂的方程為y=x-，聯(lián)立直線BF₂與橢圓Γ的方程得5x²-8x=0，解得x=0或x=，
∴當(dāng)x=時(shí)，y=，即M（，），此時(shí)直線MN的方程為x=；
③當(dāng)A、B不是橢圓Γ的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x=my+n（m≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立直線MN與橢圓Γ的方程得，整理得（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0
∴Δ=（6mn）²-4（3m²+4）（3n²-12）=144m²-48n²+192＞0，且y₁+y₂=-，y₁?y₂=，
設(shè)直線AF₂的方程為x=k₁y+1，且k₁=，A（x_A，y_A），M（x₁，y₁），
聯(lián)立直線AF₂與橢圓Γ的方程得，整理得（3+4）y²+6k₁y-9=0，此時(shí)Δ=36+36（3+4）=144+144＞0，
∴y₁y_A=，則y_A=-①，
同理設(shè)直線BF₂的方程為x=k₂y+1，且k₂=，B（-x_A，-y_A），
聯(lián)立直線BF₂與橢圓Γ的方程得，整理得（3+4）y²+6k₂y-9=0，此時(shí)Δ=36+36（3+4）=144+144＞0，
∴-y_A?y₂=，則y_A=②，
由①②得-=，即（3+4）y₁+（3+4）y₂=0，
∴3?y₁+3?y₂+4（y₁+y₂）=0，
又3?y₁+3?y₂=3[（）²?y₁+（）²?y₂]=3[+]=3[m²（y₁+y₂）+4m（n-1）+（n-1）²?]，
∴3m²（y₁+y₂）+12m（n-1）+3（n-1）²?+4（y₁+y₂）=0③，
將y₁+y₂=-，y₁?y₂=代入③得（3m²+4）?（-）+12m（n-1）+3（n-1）²?=0，即m（5n-8）=0，
∵m≠0，∴n=，即直線MN的方程為x=my+，則恒過(guò)定點(diǎn)（，0），
對(duì)于①：此時(shí)直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（，0），符合題意，對(duì)于②：直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（，0），
綜上所述，直線MN過(guò)定點(diǎn)（，0）．