已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC，CB于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊DC，CB的中點(diǎn)．求證：菱形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)始終分別在邊DC，CB上移動(dòng)，等邊△AEF的外心為點(diǎn)P．
①猜想驗(yàn)證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪條直線上，并加以證明；
②學(xué)以致用：如圖3，當(dāng)△AEF的面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，求1DM+1DN的值．
1
DM
+
1
DN
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①外心P一定落在直線DB上，理由見(jiàn)解析；②．
1
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/5/16 8:0:9組卷：52引用：1難度：0.3
相似題
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1．已知，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)M是優(yōu)弧CBD上的任意一點(diǎn)，AH=2，CH=4．
（1）如圖1，
①求⊙O的半徑；
②求sin∠CMD的值．
（2）如圖2，直線BM交直線CD于點(diǎn)E，直線MH交⊙O于點(diǎn)N，連結(jié)BN交CD于點(diǎn)F，求HE?FH的值．發(fā)布：2025/6/7 7:0:1組卷：476引用：2難度：0.3 -
2．如圖，四邊形OABC中，AO∥BC，∠AOC=90°，AO=3，AB=5．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與BA的延長(zhǎng)線交于F．延長(zhǎng)AO交圓于E，連接FC交AE于點(diǎn)D．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求cos∠FAE的值；
（3）求線段OD的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/6/7 5:0:1組卷：79引用：1難度：0.3 -
3．等腰三角形AFG中AF=AG，且內(nèi)接于圓O，D、E為邊FG上兩點(diǎn)（D在F、E之間），分別延長(zhǎng)AD、AE交圓O于B、C兩點(diǎn)（如圖1），記∠BAF=α，∠AFG=β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）連接CF，交AB于H（如圖2）．若β=45°，且BC×EF=AE×CF．求證：∠AHC=2∠BAC；
（3）在（2）的條件下，取CH中點(diǎn)M，連接OM、GM（如圖3），若∠OGM=2α-45°，
①求證：GM∥BC，GM=BC；12
②請(qǐng)直接寫出的值．OMMC
發(fā)布：2025/6/7 16:0:2組卷：1490引用：8難度：0.1