綜合與探究
如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．點P（m,0）是x軸上的一個動點，過點P作直線PM⊥x軸，與直線BC交于點M，與拋物線交于點N．
（1）求拋物線的函數表達式．
（2）①若點P在線段OB上運動，求線段MN的最大值；
②若點P在x軸的正半軸上運動，在y軸上是否存在點Q，使以M，N，C，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）y=x2-2x-3；
（2）①線段MN的最大值是；
②Q的坐標為（0，-1）或（0，3-1）或（0，-3-1）．
（2）①線段MN的最大值是
9
4
②Q的坐標為（0，-1）或（0，3
2
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/6/1 16:0:1組卷：413難度：0.1
相似題
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1．已知二次函數y=
x2+bx+c的圖象經過點A（-3，6），并與x軸交于點B（-1，0）和點C，與y軸交于點E，頂點為P，對稱軸與x軸交于點D12
（Ⅰ）求這個二次函數的解析式；
（Ⅱ）連接CP，△DCP是什么特殊形狀的三角形？并加以說明；
（Ⅲ）點Q是第一象限的拋物線上一點，且滿足∠QEO=∠BEO，求出點Q的坐標．發(fā)布：2025/6/23 8:30:2組卷：154引用：3難度：0.3 -
2．在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+2mx-m2-m+1交y軸于點A，頂點為D，對稱軸與x軸交于點H．
（1）若拋物線經過點（1，-2），
①求出m的值；
②寫出當拋物線不經過第一象限時，如何平移該拋物線可與拋物線y=-x2+2x重合；
（2）當拋物線頂點D在第二象限時，如果∠ADH=∠AHO，求拋物線解析式．發(fā)布：2025/6/23 6:30:1組卷：82引用：1難度：0.3 -
3．已知拋物線L1：y=-
x2繞點（0，-0.5）旋轉180°得到拋物線L2：y=ax2+c.12
（1）求拋物線L2的解析式；
（2）如圖，將拋物線L2經過平移得到拋物線L3：y=ax2-x-2，拋物線L3 與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，問拋物線L3上是否存在一點P，x軸上是否存在一點Q，使得以點A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．32
（3）如圖，將（1）中的拋物線經過上、下平移得到拋物線L4：y=ax2+k,一扇形OMN的頂點O放置在原點O處，點N在x軸正半軸上，點M在第一象限，且∠MON=45°，點N的坐標為（2，0），若拋物線L4與扇形OMN的邊界總有兩個公共點，求實數k的取值范圍．
發(fā)布：2025/6/23 1:30:2組卷：100引用：1難度：0.3