綜合與實踐
問題情境：如圖（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD⊥AB于點D，點O是AC中點，將△ADC繞點O旋轉180°得到△CEA．
猜想證明：
（1）試判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由．
問題解決：
（2）將△AEC繞點C逆時針方向旋轉得到△A′E′C，當旋轉到如圖（2）位置時直線A′E′剛好經(jīng)過點A．求證：A′C∥AB，并求出此時△A′PC的面積．
（3）在△AEC繞點C旋轉的過程中，直線A′E′交AB于點Q，交BC于點P，是否存在某一時刻，使△BPQ是直角三角形．若存在，直接寫出BP的長，若不存在請說明理由．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）四邊形ADCE的矩形，理由見解析過程；
（2）證明見解析過程，；
（3）或．
（2）證明見解析過程，
S
△
A
′
PC
=
3
3
（3）
2
3
-
1
4
3
3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：263引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=CF，AE，BF交于點G．
（1）求∠AGF的度數(shù)；
（2）在線段AG上截取MG=BG，連接DM，∠AGF的角平分線交DM于點N．
①依題意補全圖形；
②用等式表示線段MN與ND的數(shù)量關系，并證明．發(fā)布：2025/5/22 14:0:1組卷：1952引用：3難度：0.3 -
2．（1）問題提出
如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D為邊AB上的一個動點，連接CD，則CD的最小長度為 ．
（2）問題探究
如圖2，在矩形ABCD中，四邊形EFGH為矩形的內接四邊形，點E，F(xiàn)，G，H分別在AD，AB，BC，CD上．FH為對角線，且滿足FH∥AD，若AD=6，AB=4，則四邊形EFGH的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）問題解決
如圖3，某果蔬基地規(guī)劃修建一片試驗區(qū)，并將試驗區(qū)劃分為四個區(qū)域．按照設計圖的思路，試驗區(qū)的平面示意圖為四邊形ABCD，∠ADC=90°，點O在四邊形ABCD的對角線AC上，且滿足OD=50m,CD=110m,OB∥AD，∠OBC=30°，設BO=x m,．S△ABC=ym2
①請寫出y關于x的函數(shù)關系式；
②由于果蔬基地占地有限，探究y是否存在最小值．若存在，求出y值；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/22 14:0:1組卷：268引用：2難度：0.1 -
3．問題提出
（1）如圖1，在△ABC中，點D在BC上，連接AD，CD=2BD，則△ABD與△ACD的面積之比為 ；
問題探究
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點P為矩形內一動點，在點P運動的過程中始終有∠APB=45°，求△APB面積的最大值；（結果保留根號）
問題解決
（3）如圖3，某市欲規(guī)劃一塊形如平行四邊形ABCD的休閑旅游觀光區(qū)，點A為觀光區(qū)的入口，并滿足∠BAD=120°，要求在邊BC上確定一點E為觀光區(qū)的南門，為了方便市民游覽，修建一條觀光通道AE（觀光通道的寬度不計），且BE=2CE，AE=300米，為了容納盡可能多的游客，要求平行四邊形ABCD的面積最大，請問是否存在滿足上述條件的面積最大的平行四邊形ABCD？若存在，求出平行四邊形ABCD的最大面積；若不存在，請說明理由．（結果保留根號）
發(fā)布：2025/5/22 14:0:1組卷：735引用：4難度：0.1