已知橢圓W：x24m+y2m=1的長軸長為4，左、右頂點分別為A，B，經(jīng)過點P（n,0）的直線與橢圓W相交于不同的兩點C，D（不與點A，B重合）．
（Ⅰ）當n=0，且直線CD⊥x軸時，求四邊形ACBD的面積；
（Ⅱ）設n=1，直線CB與直線x=4相交于點M，求證：A，D，M三點共線．
x
2
4
m
+
y
2
m
=
1
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）4；
（Ⅱ）證明：當直線CD的斜率k不存在時，由題意，得CD的方程為x=1，
代入橢圓W的方程，得，，
易得CB的方程為．
則，，，
所以，即A，D，M三點共線．
當直線CD的斜率k存在時，設CD的方程為y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），
聯(lián)立方程
消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．
由題意，得Δ＞0恒成立，故，．
直線CB的方程為．
令x=4，得．
又因為A（-2，0），D（x2，y2），
則直線AD，AM的斜率分別為，，
所以．
上式中的分子 3y2（x1-2）-y1（x2+2）=3k（x2-1）（x1-2）-k（x1-1）（x2+2）=2kx1x2-5k（x1+x2）+8k==0，
所以kAD-kAM=0．
所以A，D，M三點共線．
（Ⅱ）證明：當直線CD的斜率k不存在時，由題意，得CD的方程為x=1，
代入橢圓W的方程，得
C
（
1
，
3
2
）
D
（
1
，-
3
2
）
易得CB的方程為
y
=
-
3
2
（
x
-
2
）
則
M
（
4
，-
3
）
AM
=
（
6
，-
3
）
AD
=
（
3
，-
3
2
）
所以
AM
=
2
AD
當直線CD的斜率k存在時，設CD的方程為y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），
聯(lián)立方程
y = k （ x - 1 ） ， |
x 2 4 + y 2 = 1 ， |
由題意，得Δ＞0恒成立，故
x
1
+
x
2
=
8
k
2
4
k
2
+
1
x
1
x
2
=
4
k
2
-
4
4
k
2
+
1
直線CB的方程為
y
=
y
1
x
1
-
2
（
x
-
2
）
令x=4，得
M
（
4
，
2
y
1
x
1
-
2
）
又因為A（-2，0），D（x2，y2），
則直線AD，AM的斜率分別為
k
AD
=
y
2
x
2
+
2
k
AM
=
y
1
3
（
x
1
-
2
）
所以
k
AD
-
k
AM
=
y
2
x
2
+
2
-
y
1
3
（
x
1
-
2
）
=
3
y
2
（
x
1
-
2
）
-
y
1
（
x
2
+
2
）
3
（
x
1
-
2
）
（
x
2
+
2
）
上式中的分子 3y2（x1-2）-y1（x2+2）=3k（x2-1）（x1-2）-k（x1-1）（x2+2）=2kx1x2-5k（x1+x2）+8k=
2
k
×
4
k
2
-
4
4
k
2
+
1
-
5
k
×
8
k
2
4
k
2
+
1
+
8
k
所以kAD-kAM=0．
所以A，D，M三點共線．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：313引用：4難度：0.5
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