設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）上的兩點，已知向量m=（x1b，y1a），n=（x2b，y2a），若m?n=0且橢圓的離心率e=32，短軸長為2，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
m
x
1
b
y
1
a
n
x
2
b
y
2
a
m
?
n
3
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）①當直線AB斜率不存在時，即x1=x2，y1=-y2，
∵=0
∴-=0
∴=4
又A（x1，y1）在橢圓上，所以+=1
∴|x1|=，|y1|=
s=|x1||y1-y2|=1
所以三角形的面積為定值．
②當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為y=kx+b
消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2-4=0
∴x1+x2=，x1x2=，Δ=（2kb）2-4（k2+4）（b2-4）＞0
而=0，
∴x1x2+=0
即x1x2+=0代入整理得
2b2-k2=4
S=|AB|===1
綜上三角形的面積為定值1．
y
2
4
+
x
2
=
1
（2）①當直線AB斜率不存在時，即x1=x2，y1=-y2，
∵
m
?
n
∴
x
2
1
y
2
1
4
∴
y
2
1
x
2
1
又A（x1，y1）在橢圓上，所以
x
2
1
4
x
2
1
4
∴|x1|=
2
2
2
s=
1
2
所以三角形的面積為定值．
②當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為y=kx+b
y = kx + b |
y 2 4 + x 2 = 1 |
∴x1+x2=
-
2
kb
k
2
+
4
b
2
-
4
k
2
+
4
而
m
?
n
∴x1x2+
y
1
y
2
4
即x1x2+
（
k
x
1
+
b
）
（
kx
2
+
b
）
4
2b2-k2=4
S=
1
2
|
b
|
1
+
k
2
|
b
|
4
k
2
-
4
b
2
+
16
2
（
k
2
+
4
）
4
b
2
2
|
b
|
綜上三角形的面積為定值1．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/27 14:0:0組卷：238引用：16難度：0.5
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