在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知y是x的函數(shù)，對于這個函數(shù)圖象上的一點A（a,b）和給定的實數(shù)t（t＞0）．若這個函數(shù)在a≤x≤a+t上有定義且滿足：當(dāng)a≤x≤a+t時，函數(shù)值y的最大值M與最小值m的差M-m=t,就稱這個函數(shù)滿足性質(zhì)Φ（A，t）．
如圖，對于函數(shù)y=x,給定其圖象上的點O（0，0）和t=1，在0≤x≤1上函數(shù)值y的最大值M=1，最小值m=0，滿足，M-m=t,因此函數(shù)y=x滿足性質(zhì)Φ（O，1）．
（1）根據(jù)定義，判斷函數(shù)y=x2是否滿足性質(zhì)Φ（O，1），并說明理由；
（2）已知函數(shù)y=-12x,x≤0 kx,x＞0
，點M的坐標(biāo)為（-2，1），若這個函數(shù)滿足性質(zhì)Φ（M，3），結(jié)合函數(shù)圖象，求k的值；
（3）點P為二次函數(shù)y=12x2圖象上的動點，若存在唯一的t＞0，使得函數(shù)y=12x2滿足性質(zhì)Φ（P，t），直接寫出點P的橫坐標(biāo)的取值范圍．
- 1 2 x , x ≤ 0 |
kx , x ＞ 0 |
1
2
1
2
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）函數(shù)y=x2滿足性質(zhì)Φ（O，1）．證明見解答；
（2）k的值為-2或3．
（3）n的取值范圍為：-4≤n＜1．
（2）k的值為-2或3．
（3）n的取值范圍為：-4≤n＜1．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：102引用：1難度：0.3
相似題
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1．綜合與探究
如圖，拋物線y=x2-x-3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標(biāo)為（4，-3）．14
（1）請直接寫出A，B兩點的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達式；
（2）若點P是拋物線上的點，點P的橫坐標(biāo)為m（m≥0），過點P作PM⊥x軸，垂足為M．PM與直線l交于點N，當(dāng)點N是線段PM的三等分點時，求點P的坐標(biāo)；
（3）若點Q是y軸上的點，且∠ADQ=45°，求點Q的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/6/20 15:30:2組卷：5038引用：7難度：0.4 -
2．已知拋物線
，頂點為A，且經(jīng)過點y=a（x-12）2-2，點B（-32，2）．C（52，2）
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，直線AB與x軸相交于點M，y軸相交于點E，拋物線與y軸相交于點F，在直線AB上有一點P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；
（3）如圖2，點Q是折線A-B-C上一點，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點N1落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/6/20 16:0:1組卷：8039引用：12難度：0.2 -
3．如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B、C，與x軸另一交點為A，頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上找一點E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/20 17:0:9組卷：897引用：10難度：0.3