設復平面上點對應的復數(shù)z=x+yi（x∈R，y∈R）（i為虛數(shù)單位）滿足|z+2|+|z-2|=6，點Z的軌跡方程為曲線C1．雙曲線C2：x2-y2n=1與曲線C1有共同焦點，傾斜角為π4的直線l與雙曲線C2的兩條漸近線的交點是A、B，OA?OB=2，O為坐標原點．
（1）求點Z的軌跡方程C1；
（2）求直線l的方程；
（3）設△PQR三個頂點在曲線C1上，求證：當O是△PQR重心時，△PQR的面積是定值．
-
y
2
n
=
1
π
4
OA
?
OB
【考點】軌跡方程．
【答案】（1）=1．
（2）y=x．
（3）證明：
設P（3cosθ1），Q（3cosθ2，），R（3cos），
θ1，θ2，θ3∈[0，2π），
∵O為△PQR的重心，
∴
，
∴cos（θ1-θ2）=-，
cos（θ2-θ3）=-，
cos（θ3-θ1）=-，
∴S△PQR=3S△OPQ=3|
|=|3sin（θ2-θ1）|=，
∴當O是△PQR重心時，△PQR的面積是定值．
x
2
9
+
y
2
5
（2）y=x
±
2
（3）證明：
設P（3cosθ1
5
sin
θ
1
5
sin
θ
2
θ
3
，
5
sin
θ
3
θ1，θ2，θ3∈[0，2π），
∵O為△PQR的重心，
∴
cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 = 0 |
sin θ 1 + sin θ 2 + sin θ 3 = 0 |
∴cos（θ1-θ2）=-
1
2
cos（θ2-θ3）=-
1
2
cos（θ3-θ1）=-
1
2
∴S△PQR=3S△OPQ=3|
1
2
3 cos θ 1 | 5 sin θ 1 | 1 |
3 cos θ 2 | 5 sin θ 2 | 1 |
0 | 0 | 1 |
3
2
3
5
9
15
4
∴當O是△PQR重心時，△PQR的面積是定值
9
15
4
【解答】
【點評】
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