綜合實踐課上，劉老師介紹了四點共圓的判定定理：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內對角，那么這四點共圓．在實際應用中，如果運用這個定理，往往可以讓復雜的問題簡單化，以下是小明同學對一道四邊形問題的分析，請幫助他補充完整．
特殊情況分析
（1）如圖1，正方形ABCD中，點P為對角線AC上一個動點，連接PD，將射線PD繞點P順時針旋轉∠ADC的度數，交直線BC于點Q．
小明的思考如下：
| 連接DQ， ∵AD∥CQ，∠ADC=∠DCQ=90°， ∴∠ACQ=∠DAC，（依據1） ∵∠DPQ=90°， ∴∠DPQ+∠DCQ=180°， ∴點D、P、Q、C共圓， ∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，（依據2） ∴∠PDQ=∠DQP， ∴DP=QP．（依據3） |
兩直線平行，內錯角相等
兩直線平行，內錯角相等
，②依據2應為
同弧所對的圓周角相等
同弧所對的圓周角相等
，③依據3應為
等角對等邊
等角對等邊
；一般結論探究
（2）將圖1中的正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，（1）中的結論是否成立，若成立，請僅以圖2的形式證明，若不成立，請說明理由；
結論拓展延伸
（3）若∠ADC=120°，AD=3，當△PQC為直角三角形時，請直接寫出線段PQ的長．
【考點】四點共圓．
【答案】兩直線平行，內錯角相等；同弧所對的圓周角相等；等角對等邊
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/26 8:0:9組卷：322引用：4難度：0.2
相似題
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1．綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究．
提出問題：
如圖1，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠ABC=∠ADC，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．
探究展示：求證：點A，B，C，D四點在同一個圓上．
如圖2，作經過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°
．
（1）請完善探究展示．
（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，則∠4的度數為 ．
拓展探究：
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AB，DE．
①求證：A，D，B，E四點共圓；
②若AB=2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．2發(fā)布：2025/6/1 13:0:1組卷：764引用：2難度：0.3 -
2．定義：如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，簡稱“四點共圓”．我們學過了“圓的內接四邊形的對角互補”這一定理，它的逆命題“對角互補的四邊形四個頂點共圓”是證明“四點共圓”的一種常用方法．除此之外，我們還經常用“同旁張角相等”來證明“四點共圓”．如圖1，在線段AB同側有兩點C，D．連接AD，AC，BC，BD，如果
，那么A，B，C，D“四點共圓”∠C=∠D
（1）如圖2，已知四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點P，點E在CB的延長線上，下列條件：①∠1=∠2；②∠2=∠4：③∠5=：④PA?PC=PB?PD．其中，能判定A，B，C，D“四點共圓”的條件有 ：∠ADC
（2）如圖3，直線y=x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C在x軸正半軸上，點D在y軸負半軸上，若A，B，C，D“四點共圓”，且，求四邊形ABCD的面積；∠ADC=105°
（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D是線段BC上的一個動點（點D不與點B重合，且BD＜CD，連結AD，作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．
①求證：A，D，B，E“四點共圓”；
②若AB=2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值：若變化，請說明理由．2發(fā)布：2025/6/12 1:0:1組卷：698引用：3難度：0.3 -
3．設有邊長為1的正方形，試在這個正方形的內接正三角形中找出面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積（須證明你的論斷）．
發(fā)布：2025/5/28 11:0:1組卷：126引用：1難度：0.7