四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AG是⊙O的直徑，AB=BG，延長(zhǎng)CD到E，連接AE，∠E=2∠BAC，∠ABD=2∠DAE，AC交BD于F．
（1）求證：∠AGC=∠CAD；
（2）如果∠BGC=15°，求證：AG⊥CD；
（3）在（2）的條件下，OM=2，求MB的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）2．
6
+
2
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/6/10 15:30:2組卷：82引用：1難度：0.3
相似題
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1．已知，如圖：正方形ABCD，AB=4，動(dòng)點(diǎn)E以
個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以2個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)BC向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)F同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接EF，以EF為直徑作⊙O，該圓與直線(xiàn)AC的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.2
（1）當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖①，
①填空：FC=，AE=；（用含有t的代數(shù)式表示）
②連接DE，DF，求證：△DEF是等腰直角三角形；
（2）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段EG的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，要使得圓心O始終在正方形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)t的取值范圍．
發(fā)布：2025/6/13 14:30:2組卷：257引用：4難度：0.1 -
2．【閱讀材料】如圖1所示，對(duì)于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點(diǎn)M，我們把弦AB的中點(diǎn)M到某點(diǎn)或某直線(xiàn)的距離叫做弦AB到這點(diǎn)或者這條直線(xiàn)的“密距”．例如：圖1中線(xiàn)段MO的長(zhǎng)度即為弦AB到原點(diǎn)O的“密距”，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．
【類(lèi)比應(yīng)用】已知⊙P的圓心為P（0，8），半徑為4，弦AB的長(zhǎng)度為4，弦AB的中點(diǎn)為M．
（1）當(dāng)AB∥y軸時(shí)，如圖2所示，圓心P到弦AB的中點(diǎn)M的距離是 ，此時(shí)弦AB到原點(diǎn)O的“密距”是 ．
（2）①如果弦AB在⊙P上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓心P到弦AB的中點(diǎn)M的距離變化嗎？若不變化，請(qǐng)求出PM的長(zhǎng)，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②直接寫(xiě)出弦AB到原點(diǎn)的“密距”d的取值范圍 ；
【拓展應(yīng)用】如圖3所示，已知⊙P的圓心為P（0，8），半徑為4，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B為⊙P上的一動(dòng)點(diǎn)，弦AB到直線(xiàn)y=-x-6的“密距”的最大值是 （直接寫(xiě)出答案）．
發(fā)布：2025/6/13 11:0:2組卷：198引用：3難度：0.2 -
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定⊙C，若將線(xiàn)段AB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），使得旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段A′B′所在直線(xiàn)與⊙C相切，并且切點(diǎn)P在線(xiàn)段A′B′上，則稱(chēng)線(xiàn)段AB是⊙C的旋轉(zhuǎn)切線(xiàn)段，其中滿(mǎn)足題意的最小的α稱(chēng)為關(guān)于⊙C和線(xiàn)段AB的最小旋轉(zhuǎn)角．
已知C（0，2），⊙C的半徑為1．
（1）如圖1，A（2，0），線(xiàn)段OA是⊙C的旋轉(zhuǎn)切線(xiàn)段，寫(xiě)出關(guān)于⊙C和線(xiàn)段OA的最小旋轉(zhuǎn)角為 °；
（2）如圖2，點(diǎn)A1，B1，A2，B2，A3，B3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線(xiàn)段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙C的旋轉(zhuǎn)切線(xiàn)段是 ；
（3）已知B（1，0），D（t,0），若線(xiàn)段BD是⊙C的旋轉(zhuǎn)切線(xiàn)段，求t的取值范圍；
（4）已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,存在以M為端點(diǎn)，長(zhǎng)度為的線(xiàn)段是⊙C的旋轉(zhuǎn)切線(xiàn)段，直接寫(xiě)出m的取值范圍．3
發(fā)布：2025/6/13 11:30:2組卷：258引用：4難度：0.1