已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)M（0，2）的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且直線l與x交于點(diǎn)C．
（1）求證：|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列；
（2）設(shè)MA=αAC，MB=βBC，試問α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
MA
=
α
AC
MB
=
β
BC
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；等比數(shù)列的性質(zhì)．
【答案】（1）證明：設(shè)直線l的方程為：y=kx+2（k≠0），
聯(lián)立方程可得
得：k2x2+（4k-4）x+4=0①
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，
則，②，
而，
∴|MC|2=|MA|?|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列．
（2）α+β為定值且定值為-1．
聯(lián)立方程可得
y = kx + 2 |
y 2 = 4 x |
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
C
（
-
2
k
，
0
）
則
x
1
+
x
2
=
-
4
k
-
4
k
2
x
1
?
x
2
=
4
k
2
|
MA
|
?
|
MB
|
=
1
+
k
2
|
x
1
-
0
|
?
1
+
k
2
|
x
2
-
0
|
=
4
（
1
+
k
2
）
k
2
而
|
MC
|
2
=
（
1
+
k
2
|
-
2
k
-
0
|
）
2
=
4
（
1
+
k
2
）
k
2
∴|MC|2=|MA|?|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列．
（2）α+β為定值且定值為-1．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：148引用：17難度：0.5
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：100引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7