已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+6=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于點(diǎn)Q（1，0）．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
1
2
x
-
y
+
6
=
0
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-4）代入橢圓方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0
設(shè)B（x1，y1），E（x2，y2），則A（x1，-y1），
∴x1+x2=，x1x2=
又直線AE的方程為y-y2=
令y=0，則x=x2-=x2-==1
∴直線AE過(guò)x軸上一定點(diǎn)Q（1，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-4）代入橢圓方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0
設(shè)B（x1，y1），E（x2，y2），則A（x1，-y1），
∴x1+x2=
32
k
2
4
k
2
+
3
64
k
2
-
12
4
k
2
+
3
又直線AE的方程為y-y2=
y
2
+
y
1
x
2
-
x
1
（
x
-
x
2
）
令y=0，則x=x2-
y
2
（
x
2
-
x
1
）
y
2
+
y
1
k
（
x
2
-
4
）
（
x
2
-
x
1
）
k
（
x
1
+
x
2
-
8
）
2
x
1
x
2
-
8
（
x
1
+
x
2
）
x
1
+
x
2
-
8
∴直線AE過(guò)x軸上一定點(diǎn)Q（1，0）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：105引用：15難度：0.3
相似題
-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
2．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4529引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6