請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：
羅狄斯托勒密（Claudius Ptolemaeus,約90年168年），“地心說(shuō)”的集大成者，生于埃及，著名的天文學(xué)家，地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家．
托勒密定理實(shí)出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密從他的書中摘出并加以完善．
托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．
如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，求證：AB?CD+BC?AD=AC?BD
下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：
證明：如圖1，作∠BAE=∠CAD，交BD于點(diǎn)E．∵?AD=?AD，∴∠ABE=∠ACD（依據(jù)1），∴△ABE∽△ACD（依據(jù)2），∴ABAC=BECD，∴AB?CD=AC?BE，∵?AB=?AB，∴∠ACB=∠ADE，∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，…
任務(wù)：
（1）托勒密定理的逆命題是 如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”為 同弧所對(duì)的圓周角相等同弧所對(duì)的圓周角相等；依據(jù)2”為 兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；
（2）請(qǐng)完成后續(xù)證明；
（3）如圖2，以AB為直徑的⊙O中，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且∠ABC=30°，∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，BD，若AB=4，求CD的長(zhǎng)．
?
AD
=
?
AD
AB
AC
=
BE
CD
?
AB
?
AB
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；同弧所對(duì)的圓周角相等；兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：606引用：2難度：0.4
相似題
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1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
（1）求證：DP∥BC；
（2）求證：△ABD∽△DCP；
（3）當(dāng)AB=5cm,AC=12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/6/11 1:30:1組卷：2048引用：8難度：0.5 -
2．如圖1，在△ABC中，AB=10，BC=，BD=2，CD=6，E，F(xiàn)分別是線段AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF，連接EF．210
（1）AC=；sin∠A=．
（2）在E、F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果EF∥AC，求此時(shí)DE為何值？
（3）如圖2，若以點(diǎn)D為圓心，DF的長(zhǎng)為半徑作半圓D．
①當(dāng)半圓D與△ABC的邊相切時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
②當(dāng)半圓D與線段BC只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出AE長(zhǎng)的取值范圍．發(fā)布：2025/6/10 21:30:1組卷：104引用：2難度：0.3 -
3．如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，BC交AD于點(diǎn)F，且∠BAE=∠C．
（1）求證：AE與⊙O相切于點(diǎn)A；
（2）求證：AF?DF=CF?BF；
（3）若AE∥BC，BC=8，AB=，求⊙O的半徑．25發(fā)布：2025/6/11 2:30:2組卷：31引用：2難度：0.4
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