“將軍飲馬問題”：如圖1所示，將軍每天從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的C點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)．請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？某課題組在探究這一問題時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最?。?br />解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)．
（1）根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決“將軍飲馬問題”的圖形；
（2）利用軸對(duì)稱作圖解決“飲馬問題”的依據(jù)是 兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短．
（3）應(yīng)用：
①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)O），使△PCD的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫出草圖，并求出△PCD周長(zhǎng)的最小值；
②如圖3，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上的中線且BF=b,點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是 12a+b12a+b，此時(shí)∠CFE=90°90°．
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【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】兩點(diǎn)之間線段最短；a+b；90°
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【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：812引用：1難度：0.4
相似題
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1．綜合與實(shí)踐：
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：
如圖1，直線m∥n,點(diǎn)A、B在直線m上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方），過(guò)點(diǎn)A作AC⊥n于點(diǎn)C，連接BC，以C為圓心CA為半徑作弧，交直線n于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：∠ABC=2∠CDE．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題．
實(shí)踐探究：（2）DE與AC交于點(diǎn)P，在原有問題條件不變的情況下，王老師提出新問題，請(qǐng)你解答．
“猜想出AB、BC、PC的數(shù)量關(guān)系，并證明．”
問題解決：（3）過(guò)點(diǎn)D作DQ∥BC交m于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)A上方），數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AQ=BE時(shí)，線段BE和AB有一定的數(shù)量關(guān)系，該小組提出下面的問題，請(qǐng)你解答．
“如圖2，當(dāng)AQ=BE時(shí)，求的值．”DPAB發(fā)布：2025/6/14 20:0:1組卷：171引用：2難度：0.1 -
2．如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm,∠B=∠C，BC=4cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 cm/s時(shí)，在某一時(shí)刻也能夠使△BPD與△CPQ全等．
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都按逆時(shí)針方向沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)．求經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，并寫出第一次相遇點(diǎn)在△ABC的哪條邊上？發(fā)布：2025/6/14 20:0:1組卷：112引用：2難度：0.3 -
3．在△ABC和△DBE中，CA=CB，EB=ED，點(diǎn)D在AC上．
（1）如圖1，若∠ABC=∠DBE=60°，求證：∠ECB=∠A；
（2）如圖2，設(shè)BC與DE交于點(diǎn)F．當(dāng)∠ABC=∠DBE=45°時(shí)，求證：CE∥AB；
（3）在（2）的條件下，若tan∠DEC=時(shí)，求12的值．EFDF發(fā)布：2025/6/15 3:0:1組卷：1383引用：3難度：0.4