已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為32，且過點(diǎn)（2，22）．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線OP、OQ的斜率依次為k1、k2，滿足4k=k1+k2，試問：當(dāng)k變化時(shí)，m2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
2
2
2
【考點(diǎn)】根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）．
（2）當(dāng)k變化時(shí)，m2為定值，證明如下：
由
得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．則x1+x2=，x1x2=…（?）
∵直線OP、OQ的斜率依次為k1，k2，且4k=k1+k2，
∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），
將（?）代入得：m2=，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足Δ＞0．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）當(dāng)k變化時(shí)，m2為定值，證明如下：
由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．則x1+x2=
-
8
km
1
+
4
k
2
4
（
m
2
-
1
）
1
+
4
k
2
∵直線OP、OQ的斜率依次為k1，k2，且4k=k1+k2，
∴4k=
y
1
x
1
+
y
2
x
2
k
x
1
+
m
x
1
+
k
x
2
+
m
x
2
將（?）代入得：m2=
1
2
經(jīng)檢驗(yàn)滿足Δ＞0．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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-
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