【問題提出】
在由（m×n）個小正方形（邊長為1）組成的長方形網(wǎng)格中，長方形的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f與m,n有怎樣的關系？（其中，m、n為正整數(shù)且m≥n）
【問題探究】
我們采用“從特殊到一般”的問題解決策略，先來考慮幾種特殊的情況．
（1）當m,n互質時，觀察圖1并完成如表：
| 長方形長m | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | … |
| 長方形寬n | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | … |
| 對角線所穿過的小正方形個數(shù)f | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | x | … |
8
8
；②結論：當m,n互質時，在m×n的長方形網(wǎng)格中，該長方形一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m,n之間的關系式是
f=m+n-1
f=m+n-1
．（2）當m,n不互質時，不妨設k為m、n的最大公約數(shù)，且m=ka,n=kb（a,b,k為正整數(shù)），觀察圖2并完成如表：
| m×n的長方形 | 4×2 | 6×2 | 6×4 | 9×3 | 9×6 | 15×10 | |
| a | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | … |
| b | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | … |
| 公約數(shù)k | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 5 | … |
| 對角線穿過的小正方形個數(shù)f | 4 | 6 | y | 9 | 12 | z | … |
8
8
，z=20
20
；④當m,n不互質時，若m=ka,n=kb,（a,b,k為正整數(shù)）．在（m×n）的長方形網(wǎng)格中，長方形一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與a,b,k之間的關系式是
f=k（a+b-1）
f=k（a+b-1）
．【模型應用】
如果一個長方形的一條對角線穿過的小正方形的個數(shù)是14個，在圖3所示網(wǎng)格圖中用實線畫出滿足條件的小長方形（至少畫出2個）．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】8；f=m+n-1；8；20；f=k（a+b-1）
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/8 8:0:9組卷：50引用：1難度：0.6
相似題
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1．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．12
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：879引用：1難度：0.1 -
2．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當AD與邊BC相交，點D與點F在直線AC的兩側時，BD與CF的數(shù)量關系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點A旋轉α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②證明你的結論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當△ACE為直角三角形時，直接寫出CE的長度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內一點，F(xiàn)是正方形ABCD外一點，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，當BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5