我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”．數(shù)學中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉化，相互滲透．
某校數(shù)學興趣小組，在學習完勾股定理和實數(shù)后，進行了如下的問題探索與分析：
【提出問題】已知0＜x＜1，求1+x2+1+（1-x）2的最小值
【分析問題】由勾股定理，可以通過構造直角三角形的方法，來分別表示長度為1+x2和1+（1-x）2的線段，將代數(shù)求和轉化為線段求和問題．
【解決問題】
（1）如圖，我們可以構造邊長為1的正方形ABCD，P為BC邊上的動點．設BP=x,則PC=1-x.
則1+x2+1+（1-x）2=線段 APAP+線段 PDPD；
（2）在（1）的條件下，已知0＜x＜1，求1+x2+1+（1-x）2的最小值；
（3）【應用拓展】應用數(shù)形結合思想，求x2+9-（x-6）2+1的最大值．
1
+
x
2
+
1
+
（
1
-
x
）
2
1
+
x
2
1
+
（
1
-
x
）
2
1
+
x
2
+
1
+
（
1
-
x
）
2
1
+
x
2
+
1
+
（
1
-
x
）
2
x
2
+
9
-
（
x
-
6
）
2
+
1
【考點】四邊形綜合題．
【答案】AP；PD
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/28 8:0:9組卷：161引用：3難度：0.2
相似題
-
1．綜合與實踐
折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE，AF，連接EF，如圖①．
（1）∠EAF=°，寫出圖中兩個等腰三角形：（不需要添加字母）；
轉一轉：將圖①中的∠EAF繞點A旋轉．使它的兩邊分別交邊BC，CD于點P，Q，連接PQ，如圖②．
（2）線段BP，PQ，DQ之間的數(shù)量關系為 ；
剪一剪：將圖中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖③．
（3）求證：BM2+DN2=MN2；
（4）如圖④，在等腰三角形ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，D是BC邊上任意一點（不與點B，C重合）連接AD．以A為頂點，AD為腰向兩側分別作頂角均為45°的等腰三角形AED和等腰三角形AFD，DE，DF分別交AB，AC于點M，N，連接EF，分別交AB，AC于點P，Q．設AM=a,AB=b,則AD=（用a,b表示）．
發(fā)布：2025/5/25 11:30:2組卷：223引用：1難度：0.2 -
2．在平行四邊形ABCD中，∠BCD=α，AD＞AB，DE平分∠ADC交線段BC于點E，在?ABCD的外部作△BEF，使BF=EF，∠EBF=
α，連接AC，AF，線段AF與BC交于點N．12
（1）當α=120°時，請直接寫出線段AF和AC的數(shù)量關系；
（2）當α=90°時，
①請寫出線段AF，AB，AD之間的數(shù)量關系，并說明理由；
②若點E是BC的三等分點，請直接寫出sin∠BAN的值．發(fā)布：2025/5/25 11:30:2組卷：140引用：1難度：0.3 -
3．某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：
【觀察與猜想】
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF，則的值為 ；DECF
【類比探究】
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點E是AD上的一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，求的值；CEBD
【拓展延伸】
（3）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，且AD=2，DE=3，CF=4．求AB的長．發(fā)布：2025/5/25 12:0:2組卷：620引用：6難度：0.2