如圖1，拋物線y=x2-4x與x軸相交于原點O和點A，直線y=x與拋物線在第一象限的交點為B點，拋物線的頂點為C點．
（1）求點B和點C的坐標；
（2）拋物線上是否存在點D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點E是點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，點F是直線OB下方的拋物線上的動點，EF與直線OB交于點G．設(shè)△BFG和△BEG的面積分別為S1和S2，求S1S2的最大值．
S
1
S
2
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）點B和點C的坐標分別為（5，5）和（2，-4）；
（2）存在，當(dāng)點D的坐標為或（7，21）時，使得∠DOB=∠OBC；
（3）的最大值為．
（2）存在，當(dāng)點D的坐標為
（
13
3
，
13
9
）
（3）
S
1
S
2
25
24
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：2105引用：7難度：0.2
相似題
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1．如圖，經(jīng)過原點的拋物線y=-x2+2mx（m＞1）交x軸正半軸于點A，過點P（1，m）作直線PD⊥x軸于點D，交拋物線于點B，記點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C，連接CB，CP．
（1）用含m的代數(shù)式表示BC的長．
（2）連接CA，當(dāng)m為何值時，CA⊥CP？
（3）過點E（1，1）作EF⊥BD于點E，交CP延長線于點F．
①當(dāng)m=時，判斷點F是否落在拋物線上，并說明理由；54
②延長EF交AC于點G，在EG上取一點H，連接CH，若CH=CG，且△PFE與△CHG的面積相等，則m的值是．發(fā)布：2025/5/23 18:30:2組卷：403引用：3難度：0.1 -
2．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x-5與x軸交于點A，與y軸交于點B．拋物線y=ax2+4ax+c經(jīng)過點A、點B．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出頂點的坐標；
（2）若在第三象限的拋物線上有一動點M，當(dāng)點M到直線AB的距離最大時，求點M的坐標；
（3）點C，D分別為線段AO，線段AB上的點，且BD=AC，連接CD．將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90度，點C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為點E，連接OE．當(dāng)線段OE的長最小時，請直接寫出直線DE的函數(shù)表達式．2
發(fā)布：2025/5/23 18:30:2組卷：700引用：2難度：0.3 -
3．二次函數(shù)y=ax2-2x+c的圖象與x軸交于A（2，0）、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C（0，3），頂點為E．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點C時，求點D的坐標；
（3）如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接OP，連接PC、PE、CE．當(dāng)S△CPE=2S△CPO，求點P的坐標．
發(fā)布：2025/5/23 18:30:2組卷：244引用：1難度：0.7