如圖①，線段AB，CD交于點O，連接AC和BD，若∠A與∠B，∠C與∠D中有一組內(nèi)錯角成兩倍關系，則稱△AOC與△BOD為倍優(yōu)三角形，其中成兩倍關系的內(nèi)錯角中，較大的角稱為倍優(yōu)角．
（1）如圖②，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，已知AB⊥BD，△COD為等邊三角形．求證：△AOB，△COD為倍優(yōu)三角形．
（2）如圖③，已知邊長為2的正方形ABCD，點P為邊CD上一動點（不與點C，D重合），連接AP和BP，對角線AC和BP交于點O，當△AOP和△BOC為倍優(yōu)三角形時，求∠DAP的正切值．
（3）如圖④，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，△BCP和△ADP是倍優(yōu)三角形，且∠ADP為倍優(yōu)角，延長AD，BC交于點E．
①若AB=8，CD=5，求⊙O的半徑；
②記△BCD的面積為S1，△ABE的面積為S2，S1S2=y,cosE=x,當BE=3BC時，求y關于x的函數(shù)表達式．
S
1
S
2
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）見解答；（2）∠DAP的正切值為-1或；（3）①⊙O的半徑為；②．
2
1
2
25
6
y
=
1
8
x
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：659引用：3難度：0.2
相似題
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1．A，B是⊙C上的兩個點，點P在⊙C的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱∠APB為AB關于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當圓心C在∠APB邊（含頂點）上時，稱∠APB為AB關于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠AMB是AB關于⊙C的內(nèi)直角，∠ANB是AB關于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標系xOy中．
（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，-5），B（4，3）是⊙O上兩點．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（-2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB關于⊙O的內(nèi)直角的是 ；
②若在直線y=2x+b上存在一點P，使得∠APB是AB關于⊙O的內(nèi)直角，求b的取值范圍．
（2）點A是以C（t,0）為圓心，4為半徑的圓上一個動點，⊙C與x軸交于點B（點B在點C的右邊）．現(xiàn)有點M（1，0），N（0，2），對于線段MN上每一點P，都存在點C，使∠APB是AB關于⊙C的最佳內(nèi)直角，請直接寫出t的取值范圍．發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：220引用：1難度：0.1 -
2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC并交BC于點E，點O在AB上，經(jīng)過點A，E的半圓O分別交AC，AB于點F，D，連接ED．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）判斷∠DEB和∠EAB的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）若⊙O的半徑為5，AC=8，求點E到直線AB的距離．發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：232引用：1難度：0.3 -
3．新定義：如果一個四邊形的對角線相等，我們稱這個四邊形為美好四邊形．
【問題提出】
（1）如圖1，若四邊形ABCD是美好四邊形，且AD=BD，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四邊形ABCD的面積；
【問題解決】
（2）如圖2，某公園內(nèi)需要將4個信號塔分別建在A，B，C，D四處，現(xiàn)要求信號塔C建在公園內(nèi)一個湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個半徑為200m的圓，記為⊙E．已知點A到該湖泊的最近距離為500m,是否存在這樣的點D，滿足AC=BD，使得四邊形ABCD的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：148引用：2難度：0.5