矩形ABCD中，E為AB邊上的中點(diǎn)，AF⊥DE，交AF于點(diǎn)G．
（1）若矩形ABCD是正方形，
①如圖1，求證：△ADG∽△EAG；
②如圖2，分別連接BG和BD，設(shè)BD與AF交于點(diǎn)H．求證：BG2=AG?DG；
（2）類比：如圖3，在矩形ABCD中，若ADAB=43，BG=5，求AG的長．
AD
AB
=
4
3
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）①證明見解答過程；②證明見解答過程；（2）AG=4．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：616引用：4難度：0.3
相似題
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1．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為邊AB上一點(diǎn)，∠ACD=∠B．
（1）求證：AC2=AD?AB；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，交BC于點(diǎn)E，若AB=4AD，求的值；AMME
（3）如圖，N為CD延長線上一點(diǎn)，連接BN，且∠NBD=2∠ACD，若，直接寫出tan∠ACD=1n（n＞1）的值（用含n的代數(shù)式表示）．NDDC發(fā)布：2025/5/22 10:30:1組卷：557引用：4難度：0.1 -
2．問題背景：某學(xué)習(xí)小組正在研究如下問題：如圖1所示，四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，且點(diǎn)E、G分別在邊BC、CD上，連接DE、BG，點(diǎn)M是BG中點(diǎn)，連接CM，試猜測CM與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明．
解決問題：小華從旋轉(zhuǎn)的角度提出一個(gè)問題：如圖2，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，其他條件不變，此時(shí)“問題背景”中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．
拓展延伸：小剛提出了一個(gè)更加一般化的問題：如圖3所示，?ABCD∽?ECGF，且，其他條件不變，此時(shí)CM與DE又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)果．ABBC=ab
?發(fā)布：2025/5/22 10:30:1組卷：242引用：4難度：0.1 -
3．綜合與實(shí)踐
我們?cè)跊]有量角器或三角尺的情況下，用折疊特殊矩形紙片的方法進(jìn)行如下操作也可以得到幾個(gè)相似的含有30°角的直角三角形．
實(shí)踐操作：第一步：如圖①，矩形紙片ABCD的邊長AB=，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點(diǎn)H．3
第二步：如圖②，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線再次折疊，使CD落在對(duì)角線CA上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'恰好與點(diǎn)H重合，折痕為CG，將矩形紙片展平，連接GH．
問題解決：
（1）在圖②中，sin∠ACB=，=；EGCG
（2）在圖②中，CH2=CG?；從圖②中選擇一條線段填在空白處，并證明你的結(jié)論；
拓展延伸：
（3）將上面的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在矩形的內(nèi)部或一邊上，設(shè)∠DCD'=a,若0°＜a≤90°，連接D'A，D'A的長度為m,則m的取值范圍是 ．
發(fā)布：2025/5/22 9:30:1組卷：681引用：7難度：0.1