已知橢圓C：x2+3y2=3，過點(diǎn)D（1，0）且不過點(diǎn)E（2，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線AE與直線x=3交于點(diǎn)M．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；
（3）試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由．
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）1；
（3）結(jié)論：直線BM與直線DE平行．
證明如下：
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由（2）知kBM=1，
又∵直線DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠1），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則直線AE的方程為y-1=（x-2），
令x=3，則點(diǎn)M（3，），
∴直線BM的斜率kBM=，
聯(lián)立
，得（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0，
由韋達(dá)定理，得x1+x2=，x1x2=，
∵kBM-1=
=
==0，
∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；
綜上所述，直線BM與直線DE平行．
6
3
（2）1；
（3）結(jié)論：直線BM與直線DE平行．
證明如下：
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由（2）知kBM=1，
又∵直線DE的斜率kDE=
1
-
0
2
-
1
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠1），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則直線AE的方程為y-1=
y
1
-
1
x
1
-
2
令x=3，則點(diǎn)M（3，
x
1
+
y
1
-
3
x
1
-
2
∴直線BM的斜率kBM=
x
1
+
y
1
-
3
x
1
-
2
-
y
2
3
-
x
2
聯(lián)立
x 2 + 3 y 2 = 3 |
y = k （ x - 1 ） |
由韋達(dá)定理，得x1+x2=
6
k
2
1
+
3
k
2
3
k
2
-
3
1
+
3
k
2
∵kBM-1=
k
（
x
1
-
1
）
+
x
1
-
3
-
k
（
x
2
-
1
）
（
x
1
-
2
）
-
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
=
（
k
-
1
）
[
-
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
-
3
]
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
=
（
k
-
1
）
（
-
3
k
2
+
3
1
+
3
k
2
+
12
k
2
1
+
3
k
2
-
3
）
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；
綜上所述，直線BM與直線DE平行．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：3076引用：15難度：0.5
相似題
-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4525引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6
相關(guān)試卷