設(shè)函數(shù)f（x）=x²+（a-2）x-alnx（a∈R）．
（1）若a=1，求f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若n∈N*，證明：
1
2
2
+
2
3
2
+
3
4
2
…+
n
（
n
+
1
）
2
＜ln（n+1）．

【答案】（1）f（x）_極小值=f（1）=0，無極大值；
（2）當(dāng)a＜-2時，f（x）在（0，1）遞增，在（1，-

）遞減，在（-

，+∞）遞增，
當(dāng)a=-2時，f（x）在（0，+∞）遞增，
當(dāng)-2＜a＜0時，f（x）在（0，-

）遞增，在（-

，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
當(dāng)a≥0時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（3）詳見證明過程．

【解答】

【點評】

聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。

發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：403引用：5難度：0.1

相似題

1．已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．
（1）當(dāng)a=1時，求f'（x）的零點；
（2）若函數(shù)f（x）存在極小值點，求a的取值范圍．
發(fā)布：2024/12/29 13:0:1組卷：279引用：8難度：0.4
解析
2．若函數(shù)
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（　?。?/h2>
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：124引用：4難度：0.5
解析
3．定義：設(shè)f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心，已知函數(shù)
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的對稱中心為（1，1），則下列說法中正確的有（　?。?/h2>
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值
C．函數(shù)f（x）有三個零點
D．過
（
-
1
，
1
3
）
可以作兩條直線與y=f（x）圖像相切
發(fā)布：2024/12/29 13:30:1組卷：182引用：7難度：0.5
解析

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設(shè)函數(shù)f（x）=x2+（a-2）x-alnx（a∈R）．（1）若a=1，求f（x）的極值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）若n∈N*，證明：122+232+342…+n（n+1）2＜ln（n+1）．