【問題背景】
數(shù)學活動小組在學習《確定圓的條件》時，曾遇到這樣一個問題：如圖1，草原上有三個放牧點，要修建一個牧民定居點，使得定居點到三個放牧點的距離相等，那么如何確定定居點的位置？
（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中畫出定居點O的位置，使點O到點A，B，C的距離相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【問題探索】
聰明的小智在解決這個問題之后，繼續(xù)提出新的問題，如圖3，在平面內(nèi)是否存在一點P，使點P到△ABC三個頂點的距離之和最??？
?
通過不斷探究，小智發(fā)現(xiàn)可以借助旋轉(zhuǎn)的思想解決這個問題，如圖4，把△APC 繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) 60°，得到△AP'C'，連接 PP'，可知△APP′為等邊三角形，因此 PA+PB+PC=PP'+PB+P'C'，由兩點之間，線段最短，可知PA+PB+PC 的最小值即為點B，P，P′，C′共線時線段BC′的長．
【類比探究】
（2）如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，點P為△ABC 內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC 的最小值．
【實際應(yīng)用】
（3）如圖6，現(xiàn)要在矩形公園ABCD內(nèi)，選擇一點P，從點P鋪設(shè)三條輸水管道PB，PC，PE，要求PE⊥AD．若AB=4，BC=6，請直接寫出輸水管道長度的最小值．
【考點】三角形綜合題．
【答案】（1）見解析；
（2）PA+PB+PC 的最小值為；
（3）輸水管道長度的最小值為34．
（2）PA+PB+PC 的最小值為
7
（3）輸水管道長度的最小值為3
3
+
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/17 8:0:9組卷：791引用：3難度：0.2
相似題
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1．CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上．
①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BECF；
②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由．
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段間數(shù)量關(guān)系的合理猜想：．發(fā)布：2025/6/23 12:30:1組卷：530引用：10難度：0.3 -
2．如圖，在下面直角坐標系中，已知A（0，a），B（b,0），C（b,c）三點，其中a、b、c滿足關(guān)系式+（b-3）2=0，（c-4）2≤0．a-2
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限內(nèi)有一點P（m,），請用含m的式子表示四邊形ABOP的面積；12
（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/23 7:30:1組卷：774引用：9難度：0.3 -
3．在坐標系中，A、B兩點坐標分別為（-4，0）、（0，2），以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．
①求邊AB的長；
②求點C的坐標；
③你能否在x軸上找一點M，使△MDB的周長最??？如果能，請畫出M點，并直接寫出△MDB周長的最小值；如果不能，說明理由．發(fā)布：2025/6/23 7:0:1組卷：66引用：1難度：0.1
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