【閱讀新知】19世紀(jì)英國著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程x2+bx+c=0的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1）、B（-b,c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點(diǎn)M（m,0）、N（n,0），則m、n為方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根．
【探究新知】
（1）由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+（-b-m）2，AB2=（1-c）2+b2．
在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2，所以12+m2+c2+（-b-m）2=（1-c）2+b2．
化簡得：m2+bm+c=0．同理可得：n2+bn+c=0n2+bn+c=0．
所以m、n為方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根．
【運(yùn)用新知】
（2）在圖2中的x軸上畫出以方程x2-4x-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M、N．
（3）已知點(diǎn)A（0，1）、B（-10，25），以AB為直徑作⊙C．判斷⊙C與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．
【拓展提升】
（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（0，a）、B（-b,c），若以AB為直徑的圓與交x軸有兩個交點(diǎn)M、N，則以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是 x2+bx+ac=0x2+bx+ac=0．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】n2+bn+c=0；x2+bx+ac=0
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/9/4 7:0:9組卷：184引用：1難度：0.1
相似題
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1．已知在△ABC中，⊙O為△ABC的外接圓，E為
的中點(diǎn)，過E作EF⊥直線AB，垂足為F．?BAC
（1）如圖1，若AC＞AB，線段AC，AB、AF的關(guān)系為 ；
（2）如圖2，若AB＞AC，探求線段AC，AB、AF的關(guān)系；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠B+∠C=120°，AC=10，AF=3，求⊙O的面積．
發(fā)布：2025/6/20 9:0:1組卷：154引用：1難度：0.1 -
2．如圖1，直線l：y=-
x+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是線段OA上一動點(diǎn)（0＜AC＜34）．以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作⊙A交x軸于另一點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，連接OE并延長交⊙A于點(diǎn)F．165
（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式和tan∠BAO的值；
（2）如圖2，連接CE，當(dāng)CE=EF時，
①求證：△OCE∽△OEA；
②求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動時，求OE?EF的最大值．發(fā)布：2025/6/20 11:30:2組卷：5310引用：10難度：0.1 -
3．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，過B作BE⊥AC于點(diǎn)E，交⊙O于F，連CF．
（1）如圖1，求證：BE=FC+EE；
（2）如圖2，過B作BH⊥AF垂足為H，交AC于點(diǎn)G，求證：BG=BC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CH，若CH∥AB，CE=1，求AB的長．
發(fā)布：2025/6/20 10:30:1組卷：14引用：1難度：0.2