已知拋物線y2=-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當(dāng)△OAB的面積等于10時(shí)，求k的值．
10
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．
【答案】（1）證明：由方程y2=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky2+y-k=0．
設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由韋達(dá)定理y1?y2=-1．
∵A、B在拋物線y2=-x上，
∴=-x1，=-x2，?=x1x2．
∵kOA?kOB=?===-1，
∴OA⊥OB．
（2）±．
消去x后，整理得
ky2+y-k=0．
設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由韋達(dá)定理y1?y2=-1．
∵A、B在拋物線y2=-x上，
∴
y
2
1
y
2
2
y
2
1
y
2
2
∵kOA?kOB=
y
1
x
1
y
2
x
2
y
1
y
2
x
1
x
2
1
y
1
y
2
∴OA⊥OB．
（2）±
1
6
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：811引用：51難度：0.5
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7