某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，研究三角形和矩形的性質(zhì)時(shí)，做了如下探究：在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，BC=3，AB=4，DE=1．
【觀察與猜想】（1）如圖1，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF，求證：AE=EF；
【類比探究】（2）如圖2，點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AD上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、D重合），連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥PE，交BC于點(diǎn)F，連接PF．求證：△PDE∽△ECF；
【拓展延伸】（3）如圖3，點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AD上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、D重合），連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥PE，交AB于點(diǎn)F，連接PF，且△PEF的面積是2.16，求AP的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）見解析過程；
（2）見解析過程；
（3）3-．
（2）見解析過程；
（3）3-
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【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/9/27 10:0:1組卷：134引用：1難度：0.3
相似題
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1．已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的頂點(diǎn)P在AB上滑動(dòng)，直角的兩邊分別交線段AC，BC于E．F兩點(diǎn)
（1）如圖1，當(dāng)=APPB且PE⊥AC時(shí)，求證：13=PEPF；13
（2）如圖2，當(dāng)=1時(shí)（1）的結(jié)論是否仍然成立？為什么？APPB
（3）在（2）的條件下，將直角∠EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠BPF=α（0°＜α＜90°）．連接EF，當(dāng)△CEF的周長(zhǎng)等于2+23時(shí)，請(qǐng)直接寫出α的度數(shù)．6
發(fā)布：2025/6/23 0:0:1組卷：782引用：5難度：0.1 -
2．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．
①求證：DQ=AE；
②推斷：的值為；GFAE
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，=k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；BCAB
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k=時(shí)，若tan∠CGP=23，GF=234，求CP的長(zhǎng)．10
發(fā)布：2025/6/22 14:30:2組卷：5190引用：13難度：0.1 -
3．已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)P與O重合時(shí)（如圖2所示），設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；
（2）請(qǐng)利用如圖1所示的情形，求證：=ABPB；OMBM
（3）若AO=2，且當(dāng)MO=2PO時(shí)，請(qǐng)直接寫出AB和PB的長(zhǎng)．6
發(fā)布：2025/6/22 15:30:1組卷：1012引用：2難度：0.1