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已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左右頂點(diǎn)分別為A1（-2，0），A2（2，0），右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)
T
（
1
，
3
2
）
在橢圓上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P為橢圓上不與A1，A2重合的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)A1P，A2P分別與直線(xiàn)x=4相交于點(diǎn)M，N，求證：FM⊥FN．

【考點(diǎn)】直線(xiàn)與橢圓的綜合．
【答案】（1）
x
2
4
+
y
2
3
=
1
；
（2）由（1）知c=1，∴F（1，0），
設(shè)P（x0，y0），則
x
0
2
4
+
y
0
2
3
=
1
，
∴直線(xiàn)A1P的方程為
y
-
y
0
=
y
0
x
0
+
2
（
x
-
x
0
）
，
令x=4，則
y
M
=
6
y
0
x
0
+
2
，即
M
（
4
，
6
y
0
x
0
+
2
）
，
又直線(xiàn)A2P的方程為
y
-
y
0
=
y
0
x
0
-
2
（
x
-
x
0
）
，
令x=4，則
y
N
=
2
y
0
x
0
-
2
，即
N
（
4
，
2
y
0
x
0
-
2
）
，
∴
FM
?
FN
=
（
3
，
6
y
0
x
0
+
2
）
?
（
3
，
2
y
0
x
0
-
2
）
=
3
×
3
+
6
y
0
x
0
+
2
×
2
y
0
x
0
-
2

=
9
+
12
y
0
2
x
0
2
-
4
=
9
+
12
×
3
（
1
-
x
0
2
4
）
x
0
2
-
4
=
9
+
（
-
9
）
=
0
，
∴
FM
⊥
FN
，即FM⊥FN．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：108引用：7難度：0.5
相似題

  • 1．已知橢圓C：
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為
    3
    2
    ．
    （Ⅰ）求橢圓C的方程；
    （Ⅱ）若直線(xiàn)y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．

    發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5

  • 2．設(shè)橢圓
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為
    5
    3
    ，|AB|=
    13
    ．
    （Ⅰ）求橢圓的方程；
    （Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．

    發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4532引用：26難度：0.3

  • 3．如果橢圓
    x
    2
    36
    +
    y
    2
    9
    =
    1
    的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線(xiàn)方程是（　?。?/h2>

    發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6
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