已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+6=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線L：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且kOA?kOB=-b2a2，求證：△AOB的面積為定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
1
2
6
b
2
a
2
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則A，B的坐標(biāo)滿足
，消去y化簡得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
，
由Δ＞0，得4k2-m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
==．
∵=，
∴，即．
∴，即2m2-4k2=3．
∵=
=．
又O點(diǎn)到直線y=kx+m的距離d=，
∴=
==為定值．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則A，B的坐標(biāo)滿足
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = kx + m |
x
1
+
x
2
=
-
8
km
3
+
4
k
2
，
x
1
x
2
=
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
由Δ＞0，得4k2-m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
k
2
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
k
2
?
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
+
km
?
（
-
8
km
3
+
4
k
2
）
+
m
2
3
m
2
-
12
k
2
3
+
4
k
2
∵
k
OA
?
k
OB
=
-
b
2
a
2
-
3
4
∴
y
1
y
2
x
1
x
2
=
-
3
4
y
1
y
2
=
-
3
4
x
1
x
2
∴
3
m
2
-
12
k
2
3
+
4
k
2
=
-
3
4
?
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
∵
|
AB
|
=
（
1
+
k
2
）
[
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
]
（
1
+
k
2
）
?
48
（
4
k
2
-
m
2
+
3
）
（
3
+
4
k
2
）
2
=
48
（
1
+
k
2
）
（
3
+
4
k
2
）
2
?
3
+
4
k
2
2
=
24
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
又O點(diǎn)到直線y=kx+m的距離d=
|
m
|
1
+
k
2
∴
S
△
AOB
=
1
2
d
|
AB
|
1
2
|
m
|
1
+
k
2
24
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
=
1
2
m
2
1
+
k
2
?
24
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
1
2
3
+
4
k
2
2
?
24
3
+
4
k
2
=
3
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：143引用：12難度：0.1
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