如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（-1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，點P（m,n）為拋物線上一點．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）觀察圖象，當(dāng)90°＜∠APB＜180°時，請直接寫出m的取值范圍；
（4）當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)，且∠APB=90°時，將拋物線沿x軸方向平移k個單位長度，點D，P平移后的對應(yīng)點分別為D′，P′是否存在一個k值，使四邊形ABP′D′的周長最短？若存在，請直接寫出平移方向（“向左”或“向右”）和k的值；若不存在，請說明理由．
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【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-x2+x+，點D的坐標為（1，）；
（2）△ABC為直角三角形；
（3）2＜m＜3或-1＜m＜0；
（4）存在一個k=，平移方向為向左．
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（2）△ABC為直角三角形；
（3）2＜m＜3或-1＜m＜0；
（4）存在一個k=
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：695引用：2難度：0.1
相似題
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1．在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B、C兩點．
（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標．發(fā)布：2025/5/30 11:30:2組卷：257引用：4難度：0.5 -
2．如圖拋物線的對稱軸為直線x=-2，對稱軸與x軸交于點A，拋物線與y軸交于點B，點C，D為拋物線上的兩個動點，且點C在點D的右側(cè)，∠CAD=90°．y=15x2+bx-3
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式及線段AB的長；
（2）當(dāng)點C與點B重合時，直接寫出點D的坐標；
（3）當(dāng)點C不與點B重合時，且△CAD與（2）中的△CAD相似時，請直接寫出點C的橫坐標．發(fā)布：2025/5/30 11:0:1組卷：277引用：1難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．且有OA=OC．
（1）求拋物線解析式；
（2）點P在拋物線的對稱軸上，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，求出點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，若點Q在拋物線的對稱軸上，并且有∠AQC=∠APC，直接寫出點Q的坐標．12發(fā)布：2025/5/30 11:30:2組卷：274引用：1難度：0.3
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