華羅庚是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他推廣的優(yōu)選法，就是以黃金分割法為指導(dǎo)，用最可能少的試驗(yàn)次數(shù)，盡快找到生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中最優(yōu)方案的一種科學(xué)試驗(yàn)方法．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，這個(gè)比例被公認(rèn)為最能引起美感的比例，因此被稱(chēng)為黃金分割．如圖1，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果BCAB=ABAC，那么稱(chēng)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，它們的比值為5-12．
（1）如圖1，若BC=3，則AB的長(zhǎng)為 3+3523+352；
（2）如圖2，用邊長(zhǎng)為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形ABCD得到折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為CG．延長(zhǎng)CG交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：A是DM的黃金分割點(diǎn)；
（3）如圖3，在正方形ABCD的邊AD上任取一點(diǎn)E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EF交CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AP．若F為AB的黃金分割點(diǎn)，求cos∠BAP的值．
BC
AB
=
AB
AC
5
-
1
2
3
+
3
5
2
3
+
3
5
2
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】
3
+
3
5
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/21 22:30:1組卷：222引用：2難度：0.3
相似題
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1．如圖，已知直線l1∥l2，線段AB在直線l1上，BC垂直于l1交l2于點(diǎn)C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交l2、l1于點(diǎn)D、E（點(diǎn)A、E位于點(diǎn)B的兩側(cè)），滿(mǎn)足BP=BE，連接AP、CE．
（1）求證：△ABP≌△CBE；
（2）連接AD、BD，BD與AP相交于點(diǎn)F．如圖2．
①當(dāng)=2時(shí)，求證：AP⊥BD；BCBP
②當(dāng)=n（n＞1）時(shí)，設(shè)△PAD的面積為S1，△PCE的面積為S2，求BCBP的值．S1S2
發(fā)布：2025/6/18 11:30:2組卷：1185引用：6難度：0.3 -
2．在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，點(diǎn)E在邊CD上，且DE=1．
感知：如圖①，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF，易證：△ADE≌△ECF（不需要證明）；
探究：如圖②，點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AD上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、D重合），連接PE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE，交BC于點(diǎn)F，連接PF．求證：△PDE∽△ECF；
應(yīng)用：如圖③，若EF交AB邊于點(diǎn)F，其他條件不變，且△PEF的面積是3，則AP的長(zhǎng)為．發(fā)布：2025/6/16 19:30:1組卷：681引用：3難度：0.1 -
3．已知，如圖①，在?ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速移動(dòng)，速度為1cm/s,當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），連接PQ，MQ，MC，解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥MN？
（2）設(shè)△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t,使S△QMC：S四邊形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）是否存在某一時(shí)刻t,使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/6/21 4:30:1組卷：4338引用：9難度：0.5
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