如圖，已知拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ，當(dāng)線段PQ長度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線交拋物線于點(diǎn)E，且∠DQE=2∠ODQ．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2-5x+4；（2）四邊形OCPQ為平行四邊形，理由見解答；（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）或（0，）．
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【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：979引用：6難度：0.2
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1．已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y1=-（x-m+1）2+m2-m-1圖象的頂點(diǎn)．
（1）小明發(fā)現(xiàn)，對m取不同的值時(shí)，點(diǎn)P的位置也不同，但是這些點(diǎn)都在某一個(gè)函數(shù)的圖象上，請協(xié)助小明完成對這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式的探究：
①將下表填寫完整：
②描出表格中的五個(gè)點(diǎn)，猜想這些點(diǎn)在哪個(gè)函數(shù)的圖象上？求出這個(gè)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并加以驗(yàn)證；m -1 0 1 2 3 P點(diǎn)坐標(biāo) ?。?2，1） ?。?1，-1）
（2）若過點(diǎn)（0，2），且平行于x軸的直線與y1=-（x-m+1）2+m2-m-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，與②中得到的函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)C和D，當(dāng)AB=CD時(shí)，直接寫出m的值等于 ；
（3）若m≥2，點(diǎn)Q在二次函數(shù)y1=-（x-m+1）2+m2-m-1的圖象上，橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)E在②中得到的函數(shù)的圖象上，當(dāng)∠EPQ=90°時(shí)，求出E點(diǎn)的橫坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）．發(fā)布：2025/5/25 18:30:1組卷：259引用：1難度：0.3 -
2．已知點(diǎn)P（m,n）在拋物線y=ax2+2x+1上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，若點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于2，求n的取值范圍；
（2）當(dāng)-4≤m≤0時(shí)，n的最大值是1，求a的取值范圍．發(fā)布：2025/5/25 18:30:1組卷：205引用：2難度：0.4 -
3．拋物線y=-x2+bx+b+1的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)D，已知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．12
（1）求該拋物線經(jīng)過定點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，求b的值．
（3）線段FC與DE能否相等？若相等，判斷此時(shí)這兩線段的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論，求出b的值．發(fā)布：2025/5/25 19:0:2組卷：101引用：1難度：0.3
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