已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率22，短軸長為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為（2，0），證明：∠OMA=∠OMB．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
2
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）證明：由（1）知橢圓C的右焦點為F（1，0），
設(shè)直線l：x=my+1，
設(shè)直線l與橢圓C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立橢圓x2+2y2=2，
得（2+m2）y2+2my-1=0，
Δ=4m2+4（2+m2）＞0恒成立，
y1+y2=-，y1y2=-
kAM+kBM=+
==
=，
由2my1y2-（y1+y2）=2m?（-）-（-）=0，
可得kAM+kBM=0，
則∠OMA=∠OMB．
x
2
2
（Ⅱ）證明：由（1）知橢圓C的右焦點為F（1，0），
設(shè)直線l：x=my+1，
設(shè)直線l與橢圓C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立橢圓x2+2y2=2，
得（2+m2）y2+2my-1=0，
Δ=4m2+4（2+m2）＞0恒成立，
y1+y2=-
2
m
2
+
m
2
1
2
+
m
2
kAM+kBM=
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
=
y
1
（
x
2
-
2
）
+
y
2
（
x
1
-
2
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
y
1
（
m
y
2
-
1
）
+
y
2
（
m
y
1
-
1
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
2
m
y
1
y
2
-
（
y
1
+
y
2
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
由2my1y2-（y1+y2）=2m?（-
1
2
+
m
2
2
m
2
+
m
2
可得kAM+kBM=0，
則∠OMA=∠OMB．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/9/8 3:0:9組卷：127引用：5難度：0.5
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