已知拋物線Γ：y2=2px（p＞0）的焦點與橢圓4x2+20y2=5的右焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線Γ的方程；
（Ⅱ）動直線l恒過點M（0，1）與拋物線Γ交于A、B兩點，與x軸交于C點，請你觀察并判斷：在線段MA，MB，MC，AB中，哪三條線段的長總能構成等比數列？說明你的結論并給出證明．
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；拋物線的標準方程．
【答案】（Ⅰ）y2=4x；
（Ⅱ）解法一：設直線l：y=kx+1（k≠0），則C（-，0），
由
得k2x2+2（k-2）x+1=0；
因為Δ=4（k-2）2-4k2＞0，所以k＜1；
設A（x1，y1），B（x2，y2），則，，
所以由弦長公式得：，，，，
|MA|?|MB|=（1+k2）?|x1x2|=（1+k2）?=|MC|2．
若|MA|?|MB|=|AB|2，則，不滿足題目要求．
所以存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列．
解法二：同法一得，
而=（x1，y1-1）?（x2，y2-1）=（x1，kx1）?（x2，kx2）
=（1+k2）x1x2==，
因為C（-，0），所以|MC|2=1+．
因為M、A、B三點共線，且向量、同向，
所以==，
因此==|MC|2．
所以存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列．
（Ⅱ）解法一：設直線l：y=kx+1（k≠0），則C（-
1
k
由
y = kx + 1 |
y 2 = 4 x |
因為Δ=4（k-2）2-4k2＞0，所以k＜1；
設A（x1，y1），B（x2，y2），則
x
1
+
x
2
=
-
2
（
k
-
2
）
k
2
x
1
x
2
=
1
k
2
所以由弦長公式得：
|
MA
|
=
1
+
k
2
|
x
1
|
|
MB
|
=
1
+
k
2
|
x
2
|
|
MC
|
=
1
+
k
2
?
|
1
k
|
|
AB
|
=
1
+
k
2
?
|
x
1
-
x
2
|
=
1
+
k
2
?
4
1
-
k
k
2
|MA|?|MB|=（1+k2）?|x1x2|=（1+k2）?
1
k
2
若|MA|?|MB|=|AB|2，則
k
=
-
8
±
4
2
所以存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列．
解法二：同法一得
x
1
x
2
=
1
k
2
而
MA
?
MB
=（1+k2）x1x2=
（
1
+
k
2
）
?
1
k
2
1
+
1
k
2
因為C（-
1
k
1
k
2
因為M、A、B三點共線，且向量
MA
MB
所以
MA
?
MB
|
MA
|
?
|
MB
|
?
cos
0
°
|
MA
|
?
|
MB
|
因此
|
MA
|
?
|
MB
|
1
+
1
k
2
所以存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：10引用：3難度：0.3
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