如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)C，且與x軸交于另一點(diǎn)A．點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，在AP上方作∠APE=∠ABC，PE交拋物線于點(diǎn)E．
（1）請(qǐng)求出拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖2，當(dāng)PE平分∠APC時(shí)，請(qǐng)求出PE的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)N是y軸上的一點(diǎn)，在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、N、P、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）；
（2）；
（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）或（-2，-5）或（4，-5）．
（2）
2
（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）或（-2，-5）或（4，-5）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/22 8:0:10組卷：68引用：1難度：0.4
相似題
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1．對(duì)于二次函數(shù)給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點(diǎn)為P（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），以O(shè)P為邊構(gòu)造正方形OPMN，則稱正方形OPMN為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的關(guān)聯(lián)正方形，稱二次函數(shù)y=ax2+bx+c為正方形OPMN的關(guān)聯(lián)二次函數(shù)．若關(guān)聯(lián)正方形的頂點(diǎn)落在二次函數(shù)圖象上，則稱此點(diǎn)為伴隨點(diǎn)．
（1）如圖，直接寫(xiě)出二次函數(shù)y=（x+1）2-2的關(guān)聯(lián)正方形OPMN頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，并驗(yàn)證點(diǎn)N是否為伴隨點(diǎn)（填“是“或“否“）：
（2）當(dāng)二次函數(shù)y=-x2+4x+c的關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)P與N位于x軸的兩側(cè)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
①若關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)M、N在x軸的異側(cè)時(shí)，求c的取值范圍：
②當(dāng)關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)M是伴隨點(diǎn)時(shí)，求關(guān)聯(lián)函數(shù)y=-x2+4x+c的解析式；
③關(guān)聯(lián)正方形OPMN被二次函數(shù)y=-x2+4x+c圖象的對(duì)稱軸分成的兩部分的面積分別為S1與S2，若S1≤S2，請(qǐng)直接寫(xiě)出c的取值范圍．13發(fā)布：2025/5/23 11:30:2組卷：878引用：2難度：0.1 -
2．如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且OA=2OB，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，拋物線對(duì)稱軸為直線x=
，D為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m.12
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)線段DF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/5/23 11:30:2組卷：4850引用：18難度：0.4 -
3．如圖，拋物線y=ax2+bx+2交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，作直線BC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PC+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)N，若線段MN與拋物線和直線BC都存在交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．發(fā)布：2025/5/23 11:30:2組卷：366引用：6難度：0.4
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