“化圓為方”是古希臘尺規(guī)作圖難題之一．即：求作一個方形，使其面積等于給定圓的面積．這個問題困擾了人類上千年，直到19世紀(jì)，該問題被證明僅用直尺和圓規(guī)是無法完成的，如果借用一個圓形紙片，我們就可以化圓為方，方法如下：
已知：⊙O（紙片），其半徑為r.
求作：一個正方形，使其面積等于⊙O的面積．
作法：①如圖1，取⊙O的直徑AB，作射線BA，過點A作AB的垂線l；
②如圖2，以點A為圓心，AO長為半徑畫弧交直線l于點C；
③將紙片⊙O沿著直線l向右無滑動地滾動半周，使點A，B分別落在對應(yīng)的A'，B'處；
④取CB'的中點M，以點M為圓心，MC長為半徑畫半圓，交射線BA于點E；
⑤以AE為邊作正方形AEFG．
正方形AEFG即為所求．
根據(jù)上述作圖步驟，完成下列填空：
（1）由①可知，直線l為⊙O的切線，其依據(jù)是 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（2）由②③可知，AC=r,AB'=πr,則MC=（π+1）r2（π+1）r2，MA=（π-1）r2（π-1）r2（用含r的代數(shù)式表示）．
（3）連接ME，在Rt△AME中，根據(jù)AM2+AE2=EM2，可計算得AE2=πr2πr2（用含r的代數(shù)式表示）．
由此可得S正方形AEFG=S⊙O．
（
π
+
1
）
r
2
（
π
+
1
）
r
2
（
π
-
1
）
r
2
（
π
-
1
）
r
2
【考點】圓的綜合題．
【答案】經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；；；πr2
（
π
+
1
）
r
2
（
π
-
1
）
r
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/6/10 13:30:2組卷：591引用：5難度：0.4
相似題
-
1．如圖，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于點O，OE⊥AB于點E，以點O為圓心，OE為半徑作半圓，交AO于點F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點F是OA的中點，OE=6，求圖中陰影部分的周長；
（3）在（2）的條件下，點P是BC邊上的動點，當(dāng)PE+PF取最小值時，直接寫出BP的長．發(fā)布：2025/6/11 5:30:2組卷：175引用：2難度：0.2 -
2．如圖，點P在以MN為直徑的半圓上運動（不與M、N重合），PH⊥MN于H點，過N點作NQ與PH平行交MP的延長線于Q點．
（1）求∠QPN的度數(shù)；
（2）求證：QN與⊙O相切；
（3）若PN2=PM?MN，求的值．MHNH發(fā)布：2025/6/11 10:30:1組卷：310引用：1難度：0.4 -
3．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=
，點P是邊BC上的一點，PE⊥AB，垂足為E，以點P為圓心，PC為半徑的圓與射線PE相交于點Q，線段CQ與邊AB交于點D．45
（1）求AD的長；
（2）設(shè)CP=x,△PCQ的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）過點C作CF⊥AB，垂足為F，聯(lián)結(jié)PF、QF，如果△PQF是以PF為腰的等腰三角形，求CP的長．
發(fā)布：2025/6/11 7:30:2組卷：967引用：5難度：0.1