在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：模型是由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對(duì)位置變化的過程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：
（1）如圖1、兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點(diǎn)P，和△ABD全等的三角形是 △ACE△ACE，BD和CE的數(shù)量關(guān)系是 BD=CEBD=CE．
（2）如圖2，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD與正方形PBEF，連接DE分別交線段BC，PC于點(diǎn)M，N．
①求∠DMC的度數(shù)；
②連接AC交DE于點(diǎn)H，直接寫出DHBC的值．
（3）如圖3，已知點(diǎn)C為線段AE上一點(diǎn)，AE=8cm,△ABC和△CDE為AE同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，連接BE交CD于N，連接AD交BC于M，連接MN，線段MN的最大值是 22．
DH
BC
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】△ACE；BD=CE；2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：686引用：1難度：0.3
相似題
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1．【問題情境】
如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，C重合），以CF為邊在△ABC外作正方形CDEF，連接AD，BF．
【探究展示】
（1）①猜想：圖1中，線段BF，AD的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ．
②如圖2，將圖1中的正方形CDEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
【拓展延伸】
（2）如圖3，將【問題情境】中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，連接BF并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，連接BD，AF．若AC=4，BC=3，CD=，CF=1，求BD2+AF2的值．43發(fā)布：2025/5/25 23:30:1組卷：246引用：3難度：0.4 -
2．已知△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠DCE=∠ACB=90°．
發(fā)現(xiàn)：如圖-1，點(diǎn)D落在AC上，點(diǎn)E落在CB上，則直線AD和直線BE的位置關(guān)系是 ；線段AD和線段BE的數(shù)量關(guān)系是 ．
探究：在圖-1的基礎(chǔ)上，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到圖-2．
求證：（1）AD=BE，（2）BE⊥AD．
應(yīng)用：如圖-3，四邊形ABCD是正方形，E是平面上一點(diǎn)，且AE=3，DE=．2
直接寫出CE的取值范圍．發(fā)布：2025/5/26 0:0:1組卷：84引用：2難度：0.4 -
3．已知正方形ABCD，AB=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重合），將EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連接AF，設(shè)EF交CD于點(diǎn)P，AF交CD于點(diǎn)Q．
（1）如圖1，線段EQ、BE與DQ之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的發(fā)現(xiàn)；
（2）如圖2，連接DF，則AF+DF的最小值是 （直接寫出答案）；
（3）如圖3，連接CF，①若BE=m,用m的代數(shù)式表示；FPPE
②若m=4-4，求∠EQF的度數(shù)．2
發(fā)布：2025/5/26 0:0:1組卷：252引用：1難度：0.3
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