已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=433
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA、PB交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)PA、PB的斜率分別是k1，k2，且k1+k2=4，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍．
x
2
a
2
y
2
b
2
S
△
F
1
M
F
2
4
3
3
【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）k＞0或k＜-；
證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），則
y=kx+m代入橢圓方程，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∵k1+k2=4，
∴，
∴m=k-2，
∴直線AB的方程為y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（-1，-2）．
∵Δ=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-8）＞0，m=k-2，
∴k（7k+4）＞0，
∴k＞0或k＜-．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）k＞0或k＜-
4
7
證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），則
y=kx+m代入橢圓方程，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-
4
km
2
k
2
+
1
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
∵k1+k2=4，
∴
k
x
1
+
m
-
2
x
1
+
k
x
2
+
m
-
2
x
2
=
4
∴m=k-2，
∴直線AB的方程為y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（-1，-2）．
∵Δ=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-8）＞0，m=k-2，
∴k（7k+4）＞0，
∴k＞0或k＜-
4
7
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：205引用：6難度：0.1
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-
1．已知橢圓
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，則該橢圓的方程為（ ?。?/h2>x2a2+y2b2發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：12引用：2難度：0.7 -
2．已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為
、F1（-22，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．F2（22，0）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程．發(fā)布：2024/12/29 11:30:2組卷：443引用：6難度：0.8 -
3．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的離心率為
，面積為8π，則橢圓C的方程為（ ?。?/h2>32發(fā)布：2024/12/29 12:0:2組卷：229引用：7難度：0.5