已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，過橢圓C的右焦點F且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點，N為弦AB的中點，O為坐標原點．
（1）求直線ON的斜率k_ON；
（2）對于橢圓上的任意一點M，試證：總存在θ，使得等式
OM
=cosθ?
OA
+sinθ?
OB
成立．

【答案】（1）-

；
（2）證明：顯然

與

是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，
由平面向量的基本定理知，對于這一平面內(nèi)的向量

，
有且只有一對實數(shù)λ、μ使得等式

=λ

+μ

成立；
設(shè)M（x，y），由（1）中各點的坐標可得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
又∵點M（x，y）在橢圓C上，則代入①式，得

（

λx

μx

）

（

λy

μy

）

=3b²，整理可得
λ²（

）+μ²（

）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²…⑤；
由②和④得x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-

b）（x₂-

b）
=4x₁x₂-3

b（x₁+x₂）+6b²
=3b²-9b²+6b²=0；
又∵A，B兩點在橢圓上，∴

=3b²，

=3b²，
代入⑤并化簡，得λ²+μ²=1；
由λ²+μ²=1可得|λ|≤1，|μ|≤1，又λ是唯一確定的實數(shù)，并且|λ|≤1，
∴存在角θ，使得λ=cosθ成立，則有μ²=1-λ²=sin²θ，∴μ=±sinθ；
若μ=sinθ，則存在θ（θ∈R）使得等式

=cosθ?

+sinθ?

成立；
若μ=-sinθ，由于-sinθ=sin（-θ），cosθ=cos（-θ）于是用θ代換-θ，
同樣可證得存在θ（θ∈R）使得等式

=cosθ?

+sinθ?

成立；
綜上所述，對于橢圓上的任意一點M，總存在θ（θ∈R）使得等式

=cosθ?

+sinθ?

成立．

【解答】

【點評】

聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布。

發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：28引用：2難度：0.1

相似題

1．已知兩個定點坐標分別是F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
5
．
（1）求曲線C的方程；
（2）過F₁（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF₂的面積．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9
解析
2．點P在以F₁，F(xiàn)₂為焦點的雙曲線
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O為坐標原點．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P₁，P₂兩點，且
O
P
1
?
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求雙曲線E的方程；
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7
解析
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y²=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（　?。l．
A．1 B．2 C．3 D．4
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7
解析

相關(guān)試卷

3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ?。l．