在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，PC=3PA，設(shè)∠APB=α，∠BPC=β．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，
①若β=153°，求α的度數(shù)；
小明同學(xué)通過(guò)分析已知條件發(fā)現(xiàn)：△ABC是頂角為120°的等腰三角形，且PC=3PA，從而容易聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)頂角為120°的等腰三角形．于是，他過(guò)點(diǎn)A作∠DAP=120°，且AD=AP，連接DP，DB，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)不同的三角形全等：△ADB△ADB≌△APC△APC再利用全等三角形及等腰三角形的相關(guān)知識(shí)可求出α的度數(shù)．
請(qǐng)利用小王同學(xué)分析的思路，通過(guò)計(jì)算求得α的度數(shù)為63°63°；
②小王在①的基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)α、β之間存在一種特殊的等量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．
（2）如圖2，點(diǎn)P在△ABC外，那么a、β之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若改變，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系；若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3
3
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】△ADB；△APC；63°
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：349引用：2難度：0.3
相似題
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1．在綜合實(shí)踐課上，輔導(dǎo)老師要求同學(xué)操作探究學(xué)具中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)（△ABC的三個(gè)角為45°、45°、90°；△DEF的三個(gè)角為30°，60°，90°，EF=4
cm）．3
（1）如圖1，將一副三角尺按圖擺放，等腰直角三角尺的直角邊BC恰好垂直平分EF，且BC與DE相交于點(diǎn)P，求DP的長(zhǎng)；
（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，將△ACB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使直角邊BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，另一直角邊AC與DE相交于點(diǎn)Q，求DQ的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，將△ABC在邊EF上平移，如圖3，當(dāng)點(diǎn)C是EF的三等分點(diǎn)時(shí)，直角邊AC與DE相交于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫(xiě)出DG的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/5/22 20:30:1組卷：138引用：1難度：0.2 -
2．綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：
1，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)E在AC上運(yùn)動(dòng)，∠BEF=45°，CG∥FE．探究∠AEF與∠ABE之間的關(guān)系，并證明．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題．
實(shí)踐探究：（2）在原有條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出了新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．
“①若AF=m,BG=n,則求線段AE的長(zhǎng)（用含m、n的式子表示）；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，則①中所求AE的長(zhǎng)度是否仍然成立？若成立，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)（用含m、n的式子表示）．”
問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，保留原題條件，如果給出BE與CG的數(shù)量關(guān)系，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的任意兩條 線段之間的比值均可求．該小組提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．
“在（2）的條件下，若BE=CG，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，并求的值．”mn發(fā)布：2025/5/22 22:30:1組卷：391引用：1難度：0.1 -
3．如圖，在銳角△ABC中，∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE相交于點(diǎn)H，連接DE．∠AEB的平分線EF交AB于點(diǎn)F，連接DF交BE于點(diǎn)G．
（1）求證：∠DBG=∠DAE；
（2）試探究線段AE，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若CD=AF，BE=6，求GH的長(zhǎng)．2發(fā)布：2025/5/22 23:0:1組卷：654引用：3難度：0.3