已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率e=22，左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，且橢圓上一動點(diǎn)M到F2的最遠(yuǎn)距離為2+1，過F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)△F1AB以∠F1AB為直角時(shí)，求直線AB的方程；
（3）直線l的斜率存在且不為0時(shí)，試問x軸上是否存在一點(diǎn)P使得∠OPA=∠OPB，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
e
=
2
2
2
+
1
【考點(diǎn)】根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）；
（2）y=-x+1或y=x-1；
（3）存在一點(diǎn)P使得∠OPA=∠OPB，證明如下：
由題意，假設(shè)點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵直線l的斜率存在且不為0，∴可設(shè)斜率為k，且k≠0，則l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立l與橢圓的方程，得
，∴（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
∴x1x2=，x1+x2=，
∵∠OPA=∠OPB，∴kPA+kPB=0．
∵kPA=，kPB=．
∴∵kPA+kPB=+=0，
∴y1x2+y2x1-m（y1+y2）=0，
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴k（x1-1）x2+k（x2-1）x1-m[k（x1-1）+k（x1-1）]=0，
整理可得2kx1x2-（k+mk）?（x1+x2）+2km=0，
∴2k?-（k+mk）?+2km=0，
又k≠0，
∴-（1+m）?+2m=0，
∴2k2-2-2k2（1+m）+m（1+2k2）=0，
∴m-2=0，即m=2，
∴x軸上存在一點(diǎn)P（2，0），使得∠OPA=∠OPB．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）y=-x+1或y=x-1；
（3）存在一點(diǎn)P使得∠OPA=∠OPB，證明如下：
由題意，假設(shè)點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵直線l的斜率存在且不為0，∴可設(shè)斜率為k，且k≠0，則l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立l與橢圓的方程，得
y = k （ x - 1 ） |
x 2 2 + y 2 = 1 |
∴x1x2=
2
（
k
2
-
1
）
2
k
2
+
1
4
k
2
2
k
2
+
1
∵∠OPA=∠OPB，∴kPA+kPB=0．
∵kPA=
y
1
x
1
-
m
y
2
x
2
-
m
∴∵kPA+kPB=
y
1
x
1
-
m
y
2
x
2
-
m
∴y1x2+y2x1-m（y1+y2）=0，
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴k（x1-1）x2+k（x2-1）x1-m[k（x1-1）+k（x1-1）]=0，
整理可得2kx1x2-（k+mk）?（x1+x2）+2km=0，
∴2k?
2
（
k
2
-
1
）
2
k
2
+
1
4
k
2
2
k
2
+
1
又k≠0，
∴
2
（
k
2
-
1
）
2
k
2
+
1
4
k
2
2
k
2
+
1
∴2k2-2-2k2（1+m）+m（1+2k2）=0，
∴m-2=0，即m=2，
∴x軸上存在一點(diǎn)P（2，0），使得∠OPA=∠OPB．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：372引用：5難度：0.3
相似題
-
1．已知橢圓
的離心率C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），點(diǎn)33在橢圓C上．A，B分別為橢圓C的上下頂點(diǎn)，動直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，滿足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足為H．（3，2）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求△ABH面積的最大值．發(fā)布：2024/8/3 8:0:9組卷：20引用：2難度：0.5 -
2．已知橢圓E：
=1（a＞b＞0），依次連接橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為x2a2+y2b2．43
（1）若a=2，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）以橢圓E的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線G，若G上動點(diǎn)M到點(diǎn)H（10，0）的最短距離為，求a的值；46
（3）當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)點(diǎn)F為橢圓E的右焦點(diǎn)，A（-2，0），直線l交E于P、Q（均不與點(diǎn)A重合）兩點(diǎn)，直線l、AP、AQ的斜率分別為k、k1，k2，若kk1+kk2+3=0，求△FPQ的周長．發(fā)布：2024/7/20 8:0:8組卷：70引用：4難度：0.5 -
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓
（a＞b＞0）的離心率是e,定義直線x2a2+y2b2=1為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為y=±be，長軸長為8．y=±43
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l交橢圓C于E，F(xiàn)兩不同點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)與點(diǎn)A不重合），且滿足AE⊥AF，若點(diǎn)P滿足，求直線AP的斜率的取值范圍．2OP=OE+OF發(fā)布：2024/8/30 1:0:10組卷：228引用：5難度：0.3