已知F1是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點，上頂點B的坐標是（0，2），離心率為63．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）O為坐標原點，直線l過點F1且與橢圓相交于P，Q兩點，過點F1作EF1⊥PQ，與直線x=-3相交于點E，連接OE，與線段PQ相交于點M，求證：點M為線段PQ的中點．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
0
，
2
）
6
3
【答案】（1）+=1．
（2）證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），線段PQ的中點坐標G（x0，y0），
直線l的斜率為0時，直線l與x軸重合，EF1與直線x=-3平行，不符合題意，舍去．
設直線l的方程為my=x+2，
聯(lián)立
，化為（m2+3）y2-4my-2=0，
Δ＞0，
y1+y2=，
∴y0=（y1+y2）=，x0=my0-2=-，
∴線段PQ的中點坐標G（-，）．
直線EF1的方程為y=-m（x+2），∴E（-3，m）．
∴直線OE的方程為：y=-x，即mx+3y=0，
聯(lián)立
，解得M（-，），
∴G與M重合，
因此點M為線段PQ的中點．
x
2
6
y
2
2
（2）證明：設P（x1，y1），Q（x2，y2），線段PQ的中點坐標G（x0，y0），
直線l的斜率為0時，直線l與x軸重合，EF1與直線x=-3平行，不符合題意，舍去．
設直線l的方程為my=x+2，
聯(lián)立
my = x + 2 |
x 2 6 + y 2 2 = 1 |
Δ＞0，
y1+y2=
4
m
m
2
+
3
∴y0=
1
2
2
m
m
2
+
3
6
m
2
+
3
∴線段PQ的中點坐標G（-
6
m
2
+
3
2
m
m
2
+
3
直線EF1的方程為y=-m（x+2），∴E（-3，m）．
∴直線OE的方程為：y=-
m
3
聯(lián)立
mx + 3 y = 0 |
x - my + 2 = 0 |
6
m
2
+
3
2
m
m
2
+
3
∴G與M重合，
因此點M為線段PQ的中點．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：80引用：2難度：0.4
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的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6