如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于兩點A（-1，0）和B（4，0），與y軸交于點C，連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是△ABC邊上一點，連接OD，將線段OD以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OE，若點E落在拋物線上，求出此時點E的坐標；
（3）點M在線段AB上（與A、B不重合），點N在線段BC上（與B，C不重合），是否存在以C，M，N為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-x2+x+2；
（2）點E的坐標為：（2-，）或 （0，2）；
（3）存在，點N的坐標為：（2，1）或（，）或（，）．
1
2
3
2
（2）點E的坐標為：（2-
10
-
4
+
10
2
（3）存在，點N的坐標為：（2，1）或（
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5
8
5
5
2
3
4
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/5/21 22:0:1組卷：1082引用：5難度：0.3
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1．在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c（b、c為常數(shù)），經(jīng)過點（3，0）和（0，-3）．
（1）求該拋物線函數(shù)表達式；
（2）當-1≤x≤4時，求二次函數(shù)y=x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）點P為此函數(shù)圖象上任意一點，橫坐標為m,過點P作PQ⊥y軸，交直線x=3于點Q．當點P和點Q不重合時，以PQ為邊，點P為直角頂點向y軸負方向作等腰直角三角形PQM．
①當點M到拋物線頂點縱坐標所在直線的距離是5時，求m的值；
②當拋物線在等腰直角三角形PQM內(nèi)部（包括邊界）的點的縱坐標之差最大值是1時，直接寫出m的值．發(fā)布：2025/5/22 4:30:1組卷：261引用：1難度：0.4 -
2．如圖，直線y=-2x+6與x,y軸分別交于B，C兩點，拋物線y=-2x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點，且交x軸于另一點A．
（1）求B，C兩點的坐標及該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖1，若直線l為拋物線的對稱軸，請在直線l上找一點M，使得AM+CM最小，求出點M的坐標；
（3）如圖2，若在直線BC上方的拋物線上有一動點P（與B，C兩點不重合），過點P作PH⊥x軸于點H，與線段BC交于點N，當點N是線段PH的三等分點時，求點P的坐標．發(fā)布：2025/5/22 4:30:1組卷：127引用：2難度：0.3 -
3．如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若⊙M經(jīng)過A，B，C三點，N是線段BC上的動點，求MN的取值范圍．
（3）點P是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象上位于第一象限內(nèi)的一點，過點P作PQ∥AC，交直線BC于點Q，若，求點P的坐標．PQ=12AC發(fā)布：2025/5/22 4:30:1組卷：116引用：1難度：0.2
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