已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)O的兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個(gè)定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
1
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（I）橢圓C的方程為；
（II）證明：由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，
所以，．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由
消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
由已知Δ＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以，．
因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即．
所以．
整理得7m2=12（k2+1），滿足Δ＞0．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（II）證明：由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，
所以
x
0
2
4
+
x
0
2
3
=
1
x
0
2
=
12
7
所以點(diǎn)O到直線AB的距離
d
=
12
7
=
2
21
7
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
由已知Δ＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以
x
1
+
x
2
=
-
8
km
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即
（
k
2
+
1
）
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
0
所以
（
k
2
+
1
）
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
-
8
k
2
m
2
3
+
4
k
2
+
m
2
=
0
整理得7m2=12（k2+1），滿足Δ＞0．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離
d
=
|
m
|
k
2
+
1
=
12
7
=
2
21
7
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：218引用：11難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7