如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于A、B，與y軸交于點C，∠ACB=90°，且OC=2OA．
（1）求此二次函數(shù)的關系式；
（2）若點P為直線BC上方拋物線上的一動點，PM⊥BC于M，PN∥y軸交BC于N，求△PMN周長的最大值及此時是P的坐標；
（3）過點A作BC的平行線交拋物線于D，E為直線AD上一動點，F(xiàn)為平面內(nèi)一動點，當以B、C、E、F為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出點E坐標．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-x2+x+4；
（2）△PMN周長的最大值為，此時點P（4，6）；
（3）點E的坐標為（-2+4，-2）或（-2-4，2）或（6+4，-4-2）或（6-4，-4+2）或（2，-2）．
1
4
3
2
（2）△PMN周長的最大值為
20
+
12
5
5
（3）點E的坐標為（-2+4
3
3
3
3
3
3
3
3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：827引用：2難度：0.4
相似題
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1．如圖，直線y=-
x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+23x+c經(jīng)過B、C兩點．103
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標；
（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/30 13:0:1組卷：4769引用：9難度：0.1 -
2．如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x=-1．y=43x+4
（1）求拋物線的表達式；
（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m,求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；
（3）若點P在拋物線對稱軸上，點Q為任意一點，是否存在點P、Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請直接寫出P，Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/30 13:0:1組卷：1204引用：3難度：0.1 -
3．如圖1，直線y=-
x+n交x軸于點A，交y軸于點C（0，4），拋物線y=43x2+bx+c經(jīng)過點A，交y軸于點B（0，-2）．點P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設點P的橫坐標為m.23
（1）求拋物線的解析式；
（2）當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；
（3）如圖2，將△BDP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC，當點P的對應點P′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標．
發(fā)布：2025/5/30 13:0:1組卷：5096引用：10難度：0.1