在學(xué)習(xí)分式這一章節(jié)時(shí)，璧山中學(xué)的小宏在網(wǎng)上查找資料時(shí)看到了這樣一個(gè)的問(wèn)題：“已知x2-3x+1=0，求x2x4+1的值．”小宏在向老師請(qǐng)教之后，給出了如下做法：
∵x2-3x+1=0，
∴x-3+1x=0，故x+1x=3．
又∵x2x4+1=1x2+1x2（分子分母同時(shí)除以x2）且x2+1x2=（x+1x）2-2，
∴原分式的值為17．
（1）若x2-4x+1=0，根據(jù)小宏的解答，求x2x4+1的值．
（2）小宏在解決上述問(wèn)題后，結(jié)合學(xué)過(guò)的完全平方公式有了新的想法：
∵（a-b）2≥0恒成立，且（a-b）2=a2-2ab+b2，
∴a2-2ab+b2≥0也是恒成立的．
∴a2+b2≥2ab.
小宏根據(jù)上述結(jié)論得到：x2+1x2≥2×x×1x就應(yīng)該恒成立，∴x2+1x2的最小值為2．
結(jié)合兩段材料，求x2+16x2的最小值，并求此時(shí)x的取值．
x
2
x
4
+
1
1
x
1
x
x
2
x
4
+
1
1
x
2
+
1
x
2
1
x
2
1
x
1
7
x
2
x
4
+
1
1
x
2
1
x
1
x
2
16
x
2
【答案】（1）；
（2）x2+的最小值是8，此時(shí)x的取值是±2．
1
14
（2）x2+
16
x
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/11 8:0:9組卷：101引用：1難度：0.5
相似題
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1．設(shè)x,y都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉?wèn)題，
（1）嘗試：①當(dāng)x=-2，y=1時(shí)，∵x2+y2=5，2xy=-4，∴x2+y2＞2xy.
②當(dāng)x=1，y=2時(shí)，∵x2+y2=5，2xy=4，∴x2+y2＞2xy.
③當(dāng)x=2，y=2.5時(shí)，∵x2+y2=10.25，2xy=10，∴x2+y2＞2xy.
④當(dāng)x=3，y=3時(shí)，∵x2+y2=18，2xy=18，∴x2+y22xy.
（2）歸納：x2+y2與2xy有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．
（3）運(yùn)用：求代數(shù)式的最小值．x2+4x2發(fā)布：2025/5/21 17:30:1組卷：188引用：2難度：0.5 -
2．關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：a1（x-m）2+n=0與a2（x-m）2+n=0，稱為“同族二次方程”．如2（x-3）2+4=0與3（x-3）2+4=0就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：2（x-1）2+1=0與（a+2）x2+（b-4）x+8=0是“同族二次方程”．那么代數(shù)式-ax2+bx+2015取的最大值是（ ?。?/h2>
發(fā)布：2025/5/24 6:0:2組卷：272引用：3難度：0.6 -
3．基本不等式的性質(zhì)：一般地，對(duì)于a＞0，b＞0，我們有a+b≥2
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．例如：若a＞0，則a+ab=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)取等號(hào)，a+9a≥2a?9a的最小值等于6．根據(jù)上述性質(zhì)和運(yùn)算過(guò)程，若x＞1，則4x+9a的最小值是（ ）1x-1發(fā)布：2025/5/23 13:30:1組卷：839引用：6難度：0.4