已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)連線相互垂直．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N（3，2），記直線AN，BN的斜率分別為k1，k2，求證：k1+k2為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（Ⅰ）．
（II）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由
解得．
設(shè)，，則為定值．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1）．
將y=k（x-1）代入整理化簡(jiǎn)，得（3k2+1）x2-6k2x+3k2-3=0．
依題意，直線l與橢圓C必相交于兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，．
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
所以=
==
==．
綜上得k1+k2為常數(shù)2．
x
2
3
+
y
2
=
1
（II）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由
x = 1 |
x 2 3 + y 2 = 1 |
x
=
1
，
y
=±
6
3
設(shè)
A
（
1
，
6
3
）
B
（
1
，-
6
3
）
k
1
+
k
2
=
2
-
6
3
2
+
2
+
6
3
2
=
2
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1）．
將y=k（x-1）代入
x
2
3
+
y
2
=
1
依題意，直線l與橢圓C必相交于兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
6
k
2
3
k
2
+
1
x
1
x
2
=
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
所以
k
1
+
k
2
=
2
-
y
1
3
-
x
1
+
2
-
y
2
3
-
x
2
（
2
-
y
1
）
（
3
-
x
2
）
+
（
2
-
y
2
）
（
3
-
x
1
）
（
3
-
x
1
）
（
3
-
x
2
）
=
[
2
-
k
（
x
1
-
1
）
]
（
3
-
x
2
）
+
[
2
-
k
（
x
2
-
1
）
]
（
3
-
x
1
）
9
-
3
（
x
1
+
x
2
）
+
x
1
x
2
12
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
k
[
2
x
1
x
2
-
4
（
x
1
+
x
2
）
+
6
]
9
-
3
（
x
1
+
x
2
）
+
x
1
x
2
=
12
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
k
[
2
×
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
-
4
×
6
k
2
3
k
2
+
1
+
6
]
9
-
3
×
6
k
2
3
k
2
+
1
+
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
12
（
2
k
2
+
1
）
6
（
2
k
2
+
1
）
=
2
綜上得k1+k2為常數(shù)2．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：668引用：25難度：0.3
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7