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已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓C上一點，若PF1⊥PF2，|F1F2|=2
3
，△PF1F2的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB，求證：
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
為定值，并求出該定值．

【答案】（I）
x
2
4
+
y
2
=1；
（Ⅱ）（i）當A，B是橢圓頂點時，
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
=
1
4
+
1
=
5
4
，
（ii）當A，B不是橢圓頂點時，設(shè)lOA：y=kx，lOB：y=-
1
k
x
，
由
y
=
kx
x
2
4
+
y
2
=
1
，得
x
A
=
4
4
k
2
+
1
，|OA|2=
4
k
2
+
4
4
k
2
+
1
，
同理
x
B
=
4
k
2
k
2
+
4
，|OB|2=
4
k
2
+
4
k
2
+
4
，
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
=
4
k
2
+
1
4
k
2
+
4
+
k
2
+
4
4
k
2
+
4
=
5
k
2
+
5
4
k
2
+
4
=
5
4
．
綜上，
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
為定值，
5
4
．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：337引用：3難度：0.5
相似題

  • 1．已知橢圓C：
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =
    1
    （a＞b＞0）的離心率為
    3
    2
    ，短軸長為2．
    （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
    （Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過定點（1，0），求實數(shù)k的取值范圍．

    發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：2187引用：4難度：0.4

  • 2．已知橢圓C2以橢圓C1：
    x
    2
    4
    +y2=1的長軸為短軸，且與橢圓C1有相同的離心率，那么橢圓C2的標準方程為
    ．

    發(fā)布：2024/8/6 8:0:9組卷：22引用：1難度：0.5

  • 3．離心率為
    5
    3
    ，長軸長為
    2
    5
    且焦點在x軸上的橢圓的標準方程為（　?。?/h2>

    發(fā)布：2024/7/3 8:0:9組卷：53引用：2難度：0.7
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