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已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的離心率為
2
2
，上頂點為A，右頂點為 B．點P（
2
3
，0）在橢圓C內，且直線AP與直線
2
x
-
3
y
=
0
垂直．
（1）求C的方程；
（2）設過點P的直線交C于M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓過點B．

【答案】（1）
x
2
4
+
y
2
2
=
1
；
（2）證明：由（1）知，B（2，0），
當直線MN的斜率為0時，線段MN即為橢圓C的長軸，M或N與B重合，
則以MN為直徑的圓過點B，
當直線MN的斜率不為0時，設其方程為x=my+
2
3
，
聯(lián)立方程
x
=
my
+
2
3
x
2
4
+
y
2
2
=
1
，消去x得
（
my
+
2
3
）
2
4
+
y
2
2
=
1
，
整理得
（
m
2
+
2
）
y
2
+
4
m
3
y
-
32
9
=
0
，設M（x1，y1），N（x2，y2），
則
y
1
+
y
2
=
-
4
m
3
（
m
2
+
2
）
，
y
1
y
2
=
-
32
9
（
m
2
+
2
）
，
所以（x1-2）（x2-2）=
（
m
y
1
-
4
3
）
（
m
y
2
-
4
3
）
=
m
2
y
1
y
2
-
4
m
3
（
y
1
+
y
2
）
+
16
9
=
32
9
（
m
2
+
2
）
，
所以
BM
?
BN
=（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，
所以BM⊥BN，即以MN為直徑的圓過點B．
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/10/9 12:0:1組卷：120引用：3難度：0.6
相似題

  • 1．設橢圓
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =1（a＞b＞0）的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為
    5
    3
    ，|AB|=
    13
    ．
    （Ⅰ）求橢圓的方程；
    （Ⅱ）設直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點，直線l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．

    發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4524引用：26難度：0.3

  • 2．已知橢圓C：
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（0，-1），離心率為
    3
    2
    ．
    （Ⅰ）求橢圓C的方程；
    （Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B（1，0），求證：點M不在以AB為直徑的圓上．

    發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5

  • 3．如果橢圓
    x
    2
    36
    +
    y
    2
    9
    =
    1
    的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（　　）

    發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6
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