【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是

?

ABC

的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=DB+BA的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在CD上截取CG=AB，連接MA、MB、MC和MG．
∵M(jìn)是

?

ABC

的中點(diǎn)，
∴MA=MC，
又∵∠A=∠C，BA=GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB=MG，
又∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD=DG，
∴AB+BD=CG+DG即CD=DB+BA．
【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB=4，BC=6，點(diǎn)M是

?

ABC

的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD=

1

1

；
【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是

?

AC

的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．
【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半徑為5，則AD=

7

2

或

2

7

2

或

2

．